y=x 대칭이동한 원과 처음 원의 접점

$x ^{2} + y ^{2} - 10 x - 2 y + 18 = 0$에서 $( x - 5 ) ^{2} + ( y - 1 ) ^{2} = 8$ 이므로 원 $\mathrm{C}$의 중심은 $\mathrm{A} ( 5 , 1 )$, 반지름의 길이는 $\displaystyle 2 \sqrt{2}$이다. 원 $\mathrm{C}$를 직선 $y = x$에 대하여 대칭이동한 원 $\mathrm{C}'$의 방정식은 $x$와 $y$를 서로 바꾼 $( x - 1 ) ^{2} + ( y - 5 ) ^{2} = 8$ 이므로 중심은 $\mathrm{B} ( 1 , 5 )$, 반지름의 길이는 $\displaystyle 2 \sqrt{2}$이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{( 1 - 5 ) ^{2} + ( 5 - 1 ) ^{2}} = 4 \sqrt{2}$이고 두 원의 반지름의 길이의 합도 $\displaystyle 4 \sqrt{2}$이므로 두 원은 외접한다. 접점은 선분 $\mathrm{AB}$의 중점이므로 $( 3 , 3 )$이고, 이 점은 직선 $y = x$ 위에 있다. 따라서 $p = 3$, $q = 3$이므로 $p + q = 6$