미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

xf'(x)>0 범위 조건

문제

사차함수 f(x)f ( x )가 다음 조건을 만족시킬 때, f(2)f ( 2 )의 값은? [4점]

가) f(0)=2f ( 0 ) = 2이고 f′(4)=−24f' ( 4 ) = - 24이다. 나) 부등식 xf′(x)>0xf' ( x ) > 0을 만족시키는 모든 실수 xx의 값의 범위는 1<x<31 < x < 3이다.

①33②103\displaystyle \frac{10}{3}③113\displaystyle \frac{11}{3}④44⑤133\displaystyle \frac{13}{3}

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②

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해설

조건 (나)에서 f′(x)=ax(x−1)(x−3)(a<0)f' \left( x \right) = ax \left( x - 1 \right) \left( x - 3 \right) \left( a < 0 \right)이라 하면 조건 (가)에서 f′(4)=−24f' \left( 4 \right) = \mathit{-} 24이므로 f′(4)=12a=−24f' \left( 4 \right) = 12 a = \mathit{-} 24에서 a=−2a = \mathit{-} 2 따라서 f′(x)=−2x(x−1)(x−3)=−2x3+8x2−6xf' \left( x \right) = \mathit{-} 2 x \left( x - 1 \right) \left( x - 3 \right) = \mathit{-} 2 x ^{3} + 8 x ^{2} - 6 x이므로 f(x)=−12x4+83x3−3x2+2\displaystyle f \left( x \right) = \mathit{-} \frac{1}{2} x ^{4} + \frac{8}{3} x ^{3} - 3 x ^{2} + 2 (∵\becausef(0)=2f \left( 0 \right) = 2) ∴\thereforef(2)=103\displaystyle f \left( 2 \right) = \frac{10}{3}

태그

#도함수 부호#사차함수

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