x축에 접하는 포물선 최솟값

[출제의도] 이차함수 추론하기 $\displaystyle f \left( x \right) = \mathit{-} x ^{2} + px - q = \mathit{-} \left( x - \frac{p}{2} \right) ^{2} + \frac{p ^{2}}{4} - q$ (가)에 의하여 함수 $f \left( x \right)$의 그래프가 $x$축에 접하므로 $\displaystyle \frac{p ^{2}}{4} - q = 0$이다. 따라서 $\displaystyle q = \frac{p ^{2}}{4}$, $\displaystyle f \left( x \right) = \mathit{-} \left( x - \frac{p}{2} \right) ^{2}$ $f \left( x \right)$의 꼭짓점의 $x$좌표가 $\displaystyle \frac{p}{2}$이므로 (나)에 의하여 $- p \leq x \leq p$에서 $f \left( x \right)$의 최솟값은 $f \left( - p \right)$이다. $\displaystyle f \left( - p \right) = \mathit{-} \frac{9 p ^{2}}{4} = \mathit{-} 54$이고 $p ^{2} = 24$이다. $\displaystyle q = \frac{p ^{2}}{4}$이므로 $q = 6$이고, 따라서 $p ^{2} + q ^{2} = 60$이다.