x축에 접하는 두 원의 반지름의 합

두 원의 교점을 지나는 원의 방정식은 $\left( x ^{2} + y ^{2} - 6 y + 4 \right) + k \left( x ^{2} + y ^{2} - 6 x + 4 \right) = 0$ (단, $k \ne - 1$) 양변을 $1 + k$로 나누면 $\displaystyle x ^{2} + y ^{2} - \frac{6 k}{1 + k} x - \frac{6}{1 + k} y + 4 = 0$ 이 원의 중심을 $\left( p , q \right)$라 하면 $\displaystyle p = \frac{3 k}{1 + k}$, $\displaystyle q = \frac{3}{1 + k}$이고 반지름의 길이 $r$는 $r ^{2} = p ^{2} + q ^{2} - 4$ $x$축에 접하려면 중심과 $x$축 사이의 거리가 반지름과 같아야 하므로 $q ^{2} = p ^{2} + q ^{2} - 4$, 즉 $p ^{2} = 4$ (ⅰ) $p = 2$일 때 $\displaystyle \frac{3 k}{1 + k} = 2$에서 $k = 2$이므로 $q = 1$ $r ^{2} = 4 + 1 - 4 = 1$에서 $r = 1$ (ⅱ) $p = - 2$일 때 $\displaystyle \frac{3 k}{1 + k} = - 2$에서 $\displaystyle k = - \frac{2}{5}$이므로 $q = 5$ $r ^{2} = 4 + 25 - 4 = 25$에서 $r = 5$ 따라서 두 원의 반지름의 길이의 합은 $1 + 5 = 6$