공통수학2평면좌표AI기본 문제 (3점 중반)

x축 위의 점까지의 거리의 차

문제

좌표평면 위의 두 점 A(1,2)\mathrm{A} ( 1 , 2 ), B(4,6)\mathrm{B} ( 4 , 6 ) 과 xx축 위를 움직이는 점 P\mathrm{P} 에 대하여 ∣PA‾−PB‾∣\displaystyle \left| \overline{\mathrm{PA}} - \overline{\mathrm{PB}} \right| 의 최댓값을 구하시오. [3점]

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해설

삼각부등식에 의하여 ∣PA‾−PB‾∣≤AB‾\displaystyle \left| \overline{\mathrm{PA}} - \overline{\mathrm{PB}} \right| \leq \overline{\mathrm{AB}} 이고 등호는 세 점 P\mathrm{P}, A\mathrm{A}, B\mathrm{B} 가 한 직선 위에 있을 때 성립한다. 직선 AB\mathrm{AB} 의 기울기는 6−24−1=43\displaystyle \frac{6 - 2}{4 - 1} = \frac{4}{3} 이므로 직선 AB\mathrm{AB} 의 방정식은 y−2=43(x−1)\displaystyle y - 2 = \frac{4}{3} ( x - 1 ) y=0y = 0 을 대입하면 x=−12\displaystyle x = - \frac{1}{2} 이므로 직선 AB\mathrm{AB} 는 xx축과 점 (−12,0)\displaystyle \left( - \frac{1}{2} , 0 \right) 에서 만난다. 즉 점 P\mathrm{P} 를 이 점으로 잡으면 등호가 성립한다. AB‾=(4−1)2+(6−2)2=9+16=5\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{( 4 - 1 ) ^{2} + ( 6 - 2 ) ^{2}} = \sqrt{9 + 16} = 5 따라서 최댓값은 55이다.

태그

#거리의 차의 최대#삼각부등식#직선의 방정식

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