공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

X^n=A 증명 빈칸

문제

다음은 행렬 X=(xyzw)\displaystyle X = \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}와 역행렬을 갖지 않는 이차정사각행렬 AA에 대하여 Xn=AX ^{n} = A를 만족시키는 자연수 nn이 존재하면 등식 X2=(x+w)XX ^{2} = ( x + w ) X가 성립함을 증명한 것이다.

<증명> 행렬 XX가 역행렬을 갖는다고 가정하자. 등식 Xn=AX ^{n} = A의 양변에 (가) 을 곱하면 E=E =(가) AA 가 되어 AA는 역행렬을 갖게 되므로 가정에 모순이다. ∴ xw−yz=xw - yz =(나)

따라서 X2−(x+w)X=X{X−(x+w)E}X ^{2} - ( x + w ) X = X \left\{ X - ( x + w ) E \right\} =(xyzw)□(다)\displaystyle = \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix} \square {\begin{matrix} \\ \end{matrix} ( 다 ) \begin{matrix} \\ \end{matrix}} =(0000)\displaystyle = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} 이므로 X2=(x+w)XX ^{2} = ( x + w ) X가 성립한다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? (단, EE는 단위행렬이다.) [3점]

(가)(나)(다)
①(X−1)n( X ^{-1} ) ^{n}00(−wyz−x)\displaystyle \begin{pmatrix} - w & y \\ z & - x \end{pmatrix}
②(X−1)n( X ^{-1} ) ^{n}11(−xyz−w)\displaystyle \begin{pmatrix} - x & y \\ z & - w \end{pmatrix}
③(X−1)n( X ^{-1} ) ^{n}00(−xyz−w)\displaystyle \begin{pmatrix} - x & y \\ z & - w \end{pmatrix}
④(A−1)n( A ^{-1} ) ^{n}11(−wyz−x)\displaystyle \begin{pmatrix} - w & y \\ z & - x \end{pmatrix}
⑤(A−1)n( A ^{-1} ) ^{n}00(−xyz−w)\displaystyle \begin{pmatrix} - x & y \\ z & - w \end{pmatrix}
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①

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해설

[출제의도] 행렬의 성질을 이용하여 등식을 증명할 수 있는가를 묻는 문제이다. (가) : 등식 Xn=AX ^{n} = A에서 좌변을 EE로 만들려면 양변에 (X−1)n( X ^{-1} ) ^{n}을 곱해야 한다. (나) : 행렬 XX가 역행렬을 갖는다고 가정하면 모순이 되므로 행렬 XX는 역행렬을 갖지 않는다. ∴ xw−yz=0xw - yz = 0 (다) : X−(x+w)EX - ( x + w ) E=(xyzw)−(x+w)(1001)\displaystyle = \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix} - ( x + w ) \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} =(−wyz−x)\displaystyle = \begin{pmatrix} - w & y \\ z & - x \end{pmatrix}

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#역행렬#증명 빈칸

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