미적분Ⅱ도함수의 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

xⁿ ln x 최솟값

문제

자연수 nn에 대하여 함수 f(x)=xnln⁡xf ( x ) = x ^{n} \ln x의 최솟값을 g(n)g ( n )이라 하자. g(n)≤−16e\displaystyle g ( n ) \leq - \frac{1}{6 e}을 만족시키는 모든 nn의 값의 합을 구하시오. [3점]

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해설

f′(x)f' ( x )=nxn−1⋅ln⁡x+xn⋅1x\displaystyle = n x ^{n-1} \cdot \ln x + x ^{n} \cdot \frac{1}{x}=xn−1(nln⁡x+1)= x ^{n-1} \left( n \ln x + 1 \right) f(nofe)=0\displaystyle f ( \sqrt{n} ofe ) = 0이고 f′(x)f' ( x )의 부호를 이용하여 f(x)f ( x )의 증감을 표로 나타내면 다음과 같다.

tt00⋯x=1nofe\displaystyle x = \frac{1}{\sqrt{n} ofe}⋯
f′(t)f' ( t )−-00++
f(t)f ( t )↘극소↗

따라서 함수 f(x)f ( x )는 x=1nofe\displaystyle x = \frac{1}{\sqrt{n} ofe}에서 극소이자 최소이다. ∴ g(n)g ( n )=f(1nofe)\displaystyle = f \left( \frac{1}{\sqrt{n}} ofe \right)=−1ne\displaystyle = - \frac{1}{n e} g(n)≤−16e\displaystyle g ( n ) \leq - \frac{1}{6 e}에서 −1ne≤−16e\displaystyle - \frac{1}{n e} \leq - \frac{1}{6 e} ∴ n≤6n \leq 6 따라서 구하는 자연수의 합은 1+2+3+4+5+6=211 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21

태그

#최솟값#로그함수 미분

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