x-2 전개 항등식

[출제의도] 미정계수법을 이용하여 문제를 해결한다. $x ^{3} - 3 x ^{2} + 5 x - 4 = ( x - 2 ) ^{3} + a ( x - 2 ) ^{2} + b ( x - 2 ) + c$ (ⅰ) $x = 2$을 대입하면 $2 = c$ (ⅱ) $x = 0$을 대입하면 $- 4 = - 8 + 4 a - 2 b + c$ $c$의 값을 대입하여 정리하면 $2 a - b = 1$ $\cdots$ ㉠ (ⅲ) $x = 1$을 대입하면 $- 1 = - 1 + a - b + c$ $c$의 값을 대입하여 정리하면 $a - b = - 2$ $\cdots$ ㉡ ㉠$-$㉡에서 $a = 3$ $a$의 값을 ㉡에 대입하면 $b = 5$ 따라서 $a = 3 , b = 5 , c = 2$이므로 $a b c = 30$ [다른 풀이] 인수정리를 이용한 방법 (ⅰ) 다항식 $x ^{3} - 3 x ^{2} + 5 x - 4$를 $x - 2$로 나누었을 때의 몫과 나머지를 아래와 같이 조립제법으로 구하면 몫이 $x ^{2} - x + 3$, 나머지가 $2$이므로 $x ^{3} - 3 x ^{2} + 5 x - 4 = ( x - 2 ) \left( x ^{2} - x + 3 \right) + 2$ (ⅱ) 다항식 $x ^{2} - x + 3$를 $x - 2$로 나누었을 때의 몫과 나머지를 아래의 조립제법에 의하면 몫이 $x + 1$, 나머지가 $5$이므로 (ⅰ)에서 $x ^{3} - 3 x ^{2} + 5 x - 4 = ( x - 2 ) \left( x ^{2} - x + 3 \right) + 2$ $= ( x - 2 ) \left\{ ( x - 2 ) ( x + 1 ) + 5 \right\} + 2$ $= ( x - 2 ) ^{2} ( x + 1 ) + 5 ( x - 2 ) + 2$ (ⅲ) 다항식 $x + 1$를 $x - 2$로 나누었을 때의 몫과 나머지를 아래와 같이 조립제법에 의하면 몫이 $1$, 나머지가 $3$이므로 (ⅱ)에서 $x ^{3} - 3 x ^{2} + 5 x - 4 = ( x - 2 ) ^{2} ( x + 1 ) + 5 ( x - 2 ) + 2$ $= ( x - 2 ) ^{2} \left\{ ( x - 2 ) + 3 \right\} + 5 ( x - 2 ) + 2$ $= ( x - 2 ) ^{3} + 3 ( x - 2 ) ^{2} + 5 ( x - 2 ) + 2$

따라서 (ⅲ)의 결과와 주어진 식을 비교하면 $a , b , c$의 값이 각각 $a = 3 , b = 5 , c = 2$이므로 $a b c = 30$