공통수학1나머지정리와 인수분해수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

x²+1 로 나눈 나머지

문제

xx에 대한 다항식 AA를 x2+1x ^{2} + 1로 나눈 나머지를 R(A)R ( A )라 할 때, 옳은 내용만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

<보 기>
ㄱ. R(x10−x+1)=−xR ( x ^{10} - x + 1 ) = - x ㄴ. R(x9+x+1)=R(x5+x+1)R ( x ^{9} + x + 1 ) = R ( x ^{5} + x + 1 ) ㄷ. 자연수 kk에 대하여 n=4k+3n = 4 k + 3이면 R(xn+x+1)=−1R ( x ^{n} + x + 1 ) = - 1이다.

①ㄷ②ㄱ, ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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②

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해설

[출제의도] 다항식을 이용한 참ㆍ거짓 찾기 ㄱ. x10−x+1=(x2+1)Q(x)+ax+bx ^{10} - x + 1 = ( x ^{2} + 1 ) Q ( x ) + ax + b 에서 x2=−1x ^{2} = - 1 대입하면 a=−1,b=0a = - 1 , b = 0이다. 따라서 R(x10−x+1)=−xR ( x ^{10} - x + 1 ) = - x (참) ㄴ. x2=−1x ^{2} = - 1 대입하면 R(x9+x+1)=R(x5+x+1)=2x+1R ( x ^{9} + x + 1 ) = R ( x ^{5} + x + 1 ) = 2 x + 1이다. (참) ㄷ. n=4k+3(k는자연수)n = 4 k + 3 ( k \text{는} \text{자연수} )이면 xn+x+1=(x2+1)Q(x)+ax+bx ^{n} + x + 1 = ( x ^{2} + 1 ) Q ( x ) + ax + b 에 x2=−1x ^{2} = - 1 을 대입하면 R(xn+x+1)=1R ( x ^{n} + x + 1 ) = 1이다. (거짓)

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