공통수학1나머지정리와 인수분해수능 기출기본 문제 (3점 중반)

(x-1)²으로 나누어떨어지는 삼차식

문제

삼차다항식 $ax ^{3} + 3 x + b$ 가 $( x - 1 ) ^{2}$ 으로 나누어 떨어지도록 상수 $a , b$ 의 값을 정할 때, $a - b$ 의 값은? [3점] ① $- 2$ ② $- 1$ ③ $1$ ④ $2$ ⑤ $3$

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③

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[출제의도] 다항식의 나눗셈과 항등식 이해하기 $ax ^{3} + 3 x + b = ( x - 1 ) ^{2} Q ( x )$ 에서 $x = 1$ 대입 $a + 3 + b = 0$ 즉 $b = - ( a + 3 )$ $ax ^{3} + 3 x - ( a + 3 ) = ( x - 1 ) ^{2} Q ( x )$

$1$	$a$	$0$	$3$	$- ( a + 3 )$
		$a$	$a$	$a + 3$
	$a$	$a$	$a + 3$	$0$

$\begin{aligned} ( x - 1 ) ( ax ^{2} + ax + a + 3 ) & = ( x - 1 ) ^{2} Q ( x ) \end{aligned}$ $\begin{aligned} ( ax ^{2} + ax + a + 3 ) & = ( x - 1 ) Q ( x ) \end{aligned}$ $\begin{aligned} a + a + a + 3 & = 0 \end{aligned}$ $a = - 1$ , $b = - 2$ 이므로 ∴ $a - b = 1$

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