x³+1=0 허근 보기

[출제의도] 삼차방정식의 허근이 주어졌을 때 켤레근 사이의 관계를 추론할 수 있는가를 묻는 문항이다. ㄱ. $x ^{3} + 1 = ( x + 1 ) ( x ^{2} - x + 1 ) = 0$에서 $\alpha$는 이차방정식 $x ^{2} - x + 1 = 0$의 근이므로 $\alpha ^{2} - \alpha + 1 = 0$(참) ㄴ. $\alpha$가 $x ^{2} - x + 1 = 0$의 근이므로 $\displaystyle \overline{\alpha}$도 근이 된다. 근과 계수의 관계에서 $\displaystyle \alpha + \overline{\alpha} = \alpha \overline{\alpha} = 1$(참) ㄷ. $\alpha$, $\displaystyle \overline{\alpha}$가 방정식 $x ^{3} + 1 = 0$의 근이므로 $\displaystyle \alpha ^{3} = ( \overline{\alpha} ) ^{3} = - 1$ ∴ $\displaystyle \alpha ^{3} + ( \overline{\alpha} ) ^{3} = - 2$ 한편, $\displaystyle \alpha + \overline{\alpha} = \alpha \overline{\alpha} = 1$이므로 $\displaystyle \alpha ^{2} + ( \overline{\alpha} ) ^{2} = ( \alpha + \overline{\alpha} ) ^{2} - 2 \alpha \overline{\alpha} = 1 - 2 = - 1$ ∴ $\displaystyle \alpha ^{3} + ( \overline{\alpha} ) ^{3} \neq \alpha ^{2} + ( \overline{\alpha} ) ^{2}$ 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. [다른 풀이] ㄷ. $\displaystyle \alpha ^{3} + ( \overline{\alpha} ) ^{3} = ( \alpha + \overline{\alpha} ) \left\{ \alpha ^{2} - \alpha \overline{\alpha} + ( \overline{\alpha} ) ^{2} \right\}$ $\displaystyle = \alpha ^{2} + ( \overline{\alpha} ) ^{2} - 1$$\neq$$\displaystyle \alpha ^{2} + ( \overline{\alpha} ) ^{2}$