공통수학2원의 방정식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원의 평행이동과 접선

문제

원 $( x - a ) ^{2} + ( y - a ) ^{2} = b ^{2}$ 을 $y$ 축의 방향으로 $- 2$ 만큼 평행이동한 도형이 직선 $y = x$ 와 $x$ 축에 동시에 접할 때, $a ^{2} - 4 b$ 의 값을 구하시오. (단, $a > 2$ , $b > 0$ ) [4점]

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해설

원 $( x - a ) ^{2} + ( y - a ) ^{2} = b ^{2}$ 을 $y$ 축의 방향으로 $- 2$ 만큼 평행이동한 도형은 중심이 $( a , a - 2 )$ , 반지름이 $a - 2$ ( $a > 2$ )인 원이다. 또한 이 원이 직선 $y = x$ 와 접하므로 $\displaystyle \frac{\left| a - ( a - 2 ) \right|}{\sqrt{1 ^{2} + ( - 1 ) ^{2}}} = a - 2$ $\displaystyle a = 2 + \sqrt{2}$ $\displaystyle b = a - 2 = \sqrt{2}$ 따라서 $a ^{2} - 4 b = 6$

$\left( a , a - 2 \right)$

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