원의 평행이동

[출제의도] 도형의 이동을 이용하여 조건을 만족시키는 상수의 합을 구하는 문제를 해결한다.

두 원 ${C}$, ${C'}$의 중심을 각각 ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{A}'}$이라 하자. 원 ${C}$의 중심은 ${\mathrm{A} \mathit{\left( 1 , 0 \right)}}$이므로 조건 (나)에서 ${r}$$\displaystyle {= \frac{\left| 4 \times 1 - 3 \times 0 + 21 \right|}{\sqrt{4 ^{2} + ( - 3 ) ^{2}}}}$${= 5}$ 원 ${C'}$의 방정식은 ${\left( x - a - 1 \right) ^{2} + \left( y - b \right) ^{2} = 25}$이고 조건 (가)에서 점 ${\mathrm{A} \mathit{\left( 1 , 0 \right)}}$을 지나므로 ${\left( 1 - a - 1 \right) ^{2} + \left( 0 - b \right) ^{2} = 25}$ ${a ^{2} + b ^{2} = 25}$ …… ㉠ 직선 ${4 x - 3 y + 21 = 0}$을 ${l}$이라 하고 두 점 ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{A}'}$에서 직선 ${l}$에 내린 수선의 발을 각각 ${\mathrm{H}}$, ${\mathrm{H}'}$이라 하면 $\displaystyle {{\overline{\mathrm{AH}}} = {\overline{\mathrm{A}' H'}}}$이고 $\displaystyle {{\overline{\mathrm{AH}}} {\perp} l}$, $\displaystyle {{\overline{\mathrm{A}' H'}} \mathit{\perp} l}$이므로 직선 ${\mathrm{AA}'}$은 직선 ${l}$과 평행하다. 직선 ${l}$의 기울기는 $\displaystyle {\frac{4}{3}}$이므로 $\displaystyle {\frac{b - 0}{\left( 1 + a \right) - 1} = \frac{4}{3}}$, $\displaystyle {b = \frac{4}{3} a}$ …… ㉡ ㉠, ㉡에서 ${a ^{2} + b ^{2}}$$\displaystyle {= a ^{2} + \left( \frac{4}{3} a \right) ^{2}}$$\displaystyle {= \frac{25}{9} a ^{2}}$${= 25}$ ${a > 0}$, ${b > 0}$이므로 ${a = 3}$, ${b = 4}$ 따라서 ${a + b + r}$${= 3 + 4 + 5}$${= 12}$