대수삼각함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원의 접선과 탄젠트

문제

중심이 O\mathrm{O}이고 선분 PQ\mathrm{PQ}를 지름으로 하는 원과, 원 위의 점 R\mathrm{R}에서 접하는 접선 ll이 있다. 두 점 P\mathrm{P}, Q\mathrm{Q}에서 접선 ll에 내린 수선의 발을 각각 P′\mathrm{P}', Q′\mathrm{Q}'이라 할 때, ∠QPP′=α\angle \mathrm{QPP}' = \alpha, ∠QOQ′=β\angle \mathrm{Q} OQ' = \beta라고 하자. sin⁡α=45\displaystyle \sin \alpha = \frac{4}{5}일 때, tan⁡β\tan \beta의 값은? (\displaystyle \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right.단, 0<α<π2\displaystyle 0 < \alpha < \frac{\pi}{2})\displaystyle \begin{matrix} \\ \end{matrix} ) [4점]

①831\displaystyle \frac{8}{31}②1233\displaystyle \frac{12}{33}③1735\displaystyle \frac{17}{35}④2039\displaystyle \frac{20}{39}⑤2441\displaystyle \frac{24}{41}

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①

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해설

[출제의도] 도형의 성질을 이용하여 삼각함수의 덧셈정리를 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다. ∠Q′OR=γ\angle \mathrm{Q}' O R = \gamma라 두면 β=α−γ\beta = \alpha - \gamma이다. sin⁡α=45\displaystyle \sin \alpha = \frac{4}{5}이면 tan⁡α=43\displaystyle \tan \alpha = \frac{4}{3}이다. 점 O\mathrm{O}에서 선분 PP′\mathrm{P} P'에 내린 수선의 발을 H\mathrm{H}라 하면 tan⁡γ=OR‾RQ′‾=OP‾OH‾=45(∵OH‾=P′R‾=RQ′‾)\displaystyle \mathrm{\tan} \gamma = \frac{\overline{OR}}{\overline{R {Q'}}} = \frac{\overline{OP}}{\overline{OH}} = \frac{4}{5} ( \because \overline{OH} = \overline{P' R} = \overline{RQ'} ) 따라서 tan⁡β=tan⁡(α−γ)=43−451+43⋅45=831\displaystyle \tan \beta = \tan ( \alpha - \gamma ) = \frac{\frac{4}{3} - \frac{4}{5}}{1 + \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5}} = \frac{8}{31}이다.

태그

#덧셈정리#원의 접선

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