원의 접선과 선분 길이

[출제의도] 원의 성질을 이용하여 선분의 길이를 구하는 문제를 해결한다.

$\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \overline{CB}$, 선분 $\mathrm{BE}$는 공통, $\mathrm{\angle} AEB = \angle CEB = 90 ^\circ$이므로 두 삼각형 $\mathrm{ABE}$, $\mathrm{CBE}$는 서로 합동이다. 그러므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AE}} = \overline{CE}$ 직선 $\mathrm{BD}$는 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 변 $\mathrm{AC}$의 수직이등분선이므로 외접원 $O$의 중심은 선분 $\mathrm{BD}$ 위에 있다. 원 $O$의 중심을 $\mathrm{O}$, 선분 $\mathrm{OF}$와 선분 $\mathrm{CD}$가 만나는 점을 $\mathrm{G}$라 하자. 원 $O$ 외부의 점 $\mathrm{F}$에서 원 $O$에 그은 두 접선의 길이는 같으므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{FC}} = \mathrm{\overline{FD}}$$= 2$ $\displaystyle \mathrm{\overline{FC}} = \overline{FD}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{OC}} = \overline{OD}$, $\mathrm{\angle} OCF = \angle ODF = 90 ^\circ$이므로 두 삼각형 $\mathrm{OCF}$, $\mathrm{ODF}$는 서로 합동이다. $\displaystyle \mathrm{\overline{OC}} = \overline{OD}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{OG}}$가 공통이고 $\mathrm{\angle} COG = \angle DOG$이므로 두 삼각형 $\mathrm{COG}$, $\mathrm{DOG}$는 서로 합동이다. $\displaystyle \mathrm{\overline{CD}} \perp \overline{OF}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{CG}} = \overline{DG}$ 그러므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{CD}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{CG}} + \overline{DG}$$\displaystyle = 2 \mathrm{\times} \overline{DG}$ 각 $\mathrm{BAC}$와 각 $\mathrm{BDC}$는 호 $\mathrm{BC}$에 대한 원주각이므로 $\mathrm{\angle} BAC = \angle BDC$, 즉 $\mathrm{\angle} BAE = \angle EDC$ $\mathrm{\angle} ABE = 90 ^\circ - \angle BAE = 90 ^\circ - \angle EDC = \angle FDG$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \overline{FD} = 2$, $\mathrm{\angle} ABE = \angle FDG$, $\mathrm{\angle} AEB = \angle FGD = 90 ^\circ$ 이므로 두 직각삼각형 $\mathrm{ABE}$, $\mathrm{FDG}$는 서로 합동이다. 그러므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{BE}} = \overline{DG}$ $\mathrm{\angle} EAB = \angle EDC$, $\mathrm{\angle} AEB = \angle DEC = 90 ^\circ$이므로 두 삼각형 $\mathrm{ABE}$, $\mathrm{DCE}$는 서로 닮음이다. $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} : \overline{BE} = \overline{DC} : \overline{CE}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{BE}} \times {\overline{DC}} = \mathrm{\overline{AB}} \times {\overline{CE}}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{DC}}$$\displaystyle = 2 \times \mathrm{\overline{DG}}$$\displaystyle = 2 \times \mathrm{\overline{BE}}$이므로 $\displaystyle 2 \times \mathrm{\overline{BE}} ^{2} = \mathrm{\overline{AB}} \times {\overline{CE}}$ 직각삼각형 $\mathrm{ABE}$에서 피타고라스 정리에 의하여 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} ^{2} = \mathrm{\overline{BE}} ^{2} + \mathrm{\overline{AE}} ^{2}$, 즉 $\displaystyle \mathrm{\overline{BE}} ^{2} = {\overline{AB}} ^{2} \mathrm{-} \mathrm{\overline{AE}} ^{2}$ $\displaystyle 2 \times \left( \mathrm{\overline{AB}} ^{2} - \mathrm{\overline{AE}} ^{2} \right) = \mathrm{\overline{AB}} \times {\overline{CE}}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AE}} = \mathit{x}$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{CE}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{AE}}$$= x$이므로 $2 \left( 2 ^{2} - x ^{2} \right) = 2 x$ $x ^{2} + x - 4 = 0$ $\displaystyle x = \frac{- 1 - \sqrt{17}}{2}$ 또는 $\displaystyle x = \frac{- 1 + \sqrt{17}}{2}$ $x > 0$이므로 $\displaystyle x = \frac{- 1 + \sqrt{17}}{2}$ $a = \mathit{-} 1$, $b = 1$ 따라서 $a ^{2} + b ^{2}$$= ( - 1 ) ^{2} + 1 ^{2}$$= 2$