공통수학2원의 방정식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원의 접선과 포물선

문제

좌표평면에서 원 x2+y2=2x ^{2} + y ^{2} = 2 위의 점 (1,1)\left( 1 , 1 \right)에서의 접선이 곡선 y=x2+ax+2ay = x ^{2} + ax + 2 a에 접할 때, 상수 aa의 값을 구하시오. [3점]

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해설

원 x2+y2=2x ^{2} + y ^{2} = 2 위의 점 (1,1)\left( 1 , 1 \right)에서의 접선의 방정식은 x+y=2x + y = 2 직선 y=−x+2y = - x + 2가 곡선 y=x2+ax+2ay = x ^{2} + ax + 2 a에 접하므로 이차방정식 −x+2=x2+ax+2a- x + 2 = x ^{2} + ax + 2 a는 중근을 갖는다. 그러므로 이차방정식 x2+(a+1)x+2a−2=0x ^{2} + \left( a + 1 \right) x + 2 a - 2 = 0의 판별식을 DD라 할 때, DD=(a+1)2−4×(2a−2)= \left( a + 1 \right) ^{2} - 4 \times \left( 2 a - 2 \right) =a2−6a+9=(a−3)2=0= a ^{2} - 6 a + 9 = \left( a - 3 \right) ^{2} = 0 따라서 a=3a = 3

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#원의 접선#판별식

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