원의 접선과 넓이

[출제의도] 원과 직선의 위치 관계를 활용하여 문제 해결하기

${\mathrm{A}} {\mathit{(} a , 2 )}$ $y = mx$

원의 중심을 $\mathrm{A}$라 하자. 점 $\mathrm{P}$의 좌표를 $\left( a , 0 \right)$이라 하면 점 $\mathrm{A}$의 좌표는 $\left( \mathit{a} , 2 \right)$ 원점 $\mathrm{O}$와 점 $\mathrm{A}$를 지나는 직선을 $l _{1}$이라 하면 직선 $l _{1}$의 방정식은 $\displaystyle y = \frac{2}{a} x$ 직선 $\mathrm{PQ}$는 점 $\mathrm{P}$를 지나고 직선 $l _{1}$과 수직이므로 직선 $\mathrm{PQ}$의 방정식은 $\displaystyle y = - \frac{a}{2} \left( x - a \right)$ 직선 $\mathrm{PQ}$가 $y$축과 만나는 점 $\mathrm{R}$의 좌표는 $\displaystyle \left( 0 , \frac{a ^{2}}{2} \right)$ 삼각형 $\mathrm{ROP}$의 넓이가 $16$이므로 $\displaystyle \frac{1}{2} \times a \times \frac{a ^{2}}{2} = \frac{a ^{3}}{4} = 16$, $a = 4$ 점 $\mathrm{A} \left( 4 , 2 \right)$와 직선 $mx - y = 0$ 사이의 거리는 원의 반지름의 길이 $2$와 같으므로 $\displaystyle \frac{\left| 4 m - 2 \right|}{\sqrt{m ^{2} + \left( - 1 \right) ^{2}}} = 2$ $m = 0$ 또는 $\displaystyle m = \frac{4}{3}$ $m > 0$이므로 $\displaystyle m = \frac{4}{3}$ 따라서 $\displaystyle 60 m = 60 \times \frac{4}{3} = 80$ [다른 풀이] 원의 중심을 $\mathrm{A} \left( \mathit{a} , 2 \right)$라 하자. 삼각형 $\mathrm{ROP}$와 삼각형 $\mathrm{OPA}$에서 $\mathrm{\angle} ROP = \angle OPA = 90 ^{\circ}$, $\mathrm{\angle} PRO = \angle AOP = 90 ^{\circ} - \angle RPO$이므로 삼각형 $\mathrm{ROP}$와 삼각형 $\mathrm{OPA}$는 닮음이다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{RO}} : \overline{OP} = \overline{OP} : \overline{PA}$ 삼각형 $\mathrm{ROP}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times a \times \mathrm{\overline{RO}} = 16$, $\displaystyle \mathrm{\overline{RO}} \frac{= \mathit{32}}{a}$이므로 $\displaystyle \frac{32}{a} : a = a : 2$, $a = 4$ 점 $\mathrm{A} \left( 4 , 2 \right)$와 직선 $mx - y = 0$ 사이의 거리는 원의 반지름의 길이 $2$와 같으므로 $\displaystyle \frac{\left| 4 m - 2 \right|}{\sqrt{m ^{2} + \left( - 1 \right) ^{2}}} = 2$ $m = 0$ 또는 $\displaystyle m = \frac{4}{3}$ $m > 0$이므로 $\displaystyle m = \frac{4}{3}$ 따라서 $\displaystyle 60 m = 60 \times \frac{4}{3} = 80$