원의 접선과 이등변삼각형

$\mathrm{A} \left( 2 , 2 \right)$

원 $C$의 반지름의 길이가 $r$이고 선분 $\mathrm{PQ}$가 원 $C$의 지름이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} = \mathit{2} r$, $\displaystyle \mathrm{\overline{OP}} = \mathit{r}$ 삼각형 $\mathrm{APQ}$가 이등변삼각형이고 $\mathrm{\angle} APQ = 90 ^\circ$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PA}} = \mathit{2} r$ $\displaystyle \mathrm{\overline{OA}} = \sqrt{4 + 4} = 2 \sqrt{2}$ 삼각형 $\mathrm{APO}$에서 $8 = r ^{2} + 4 r ^{2}$, $\displaystyle r ^{2} = {\frac{8}{5}}$ 점 $\mathrm{P}$의 좌표가 $\left( a , b \right)$이므로 $\displaystyle a ^{2} + b ^{2} = {\frac{8}{5}}$ 원 $\displaystyle x ^{2} + y ^{2} = \frac{8}{5}$ 위의 점 $\mathrm{P} \left( \mathit{a} , b \right)$에서의 접선 $\displaystyle ax + by = \frac{8}{5}$이 점 $\mathrm{A} \left( 2 , 2 \right)$를 지나므로 $\displaystyle 2 a + 2 b = \frac{8}{5}$, $\displaystyle a + b = \frac{4}{5}$ $\displaystyle 2 ab = \left( a + b \right) ^{2} - ( a ^{2} + b ^{2} ) = \frac{16}{25} - \frac{8}{5} = \mathit{-} \frac{24}{25}$이므로 $\displaystyle ab = \mathit{-} \frac{12}{25}$