원의 접선과 함수값 곱

[출제의도] 원과 직선의 위치 관계 이해하기 $f ( x ) = ax + b$라 하자. 직선 $y = ax + b$와 원 $x ^{2} + y ^{2} = 25$가 접하므로 방정식 $x ^{2} + ( ax + b ) ^{2} = 25$는 중근을 갖는다. 이차방정식 $\left( a ^{2} + 1 \right) x ^{2} + 2 abx + b ^{2} - 25 = 0$의 판별식을 $D$라 하면 $\displaystyle \frac{D}{4} = a ^{2} b ^{2} - \left( a ^{2} + 1 \right) \left( b ^{2} - 25 \right)$$= 25 a ^{2} - b ^{2} + 25 = 0$ …… ㉠ $f ( - 5 ) f ( 5 )$=$\left( - 5 a + b \right) \left( 5 a + b \right)$$= b ^{2} - 25 a ^{2}$ 따라서 ㉠에 의해 $f ( - 5 ) f ( 5 ) = 25$ (별해)

$\mathrm{A}'$ $\mathrm{B}'$

두 점 $\left( - 5 , 0 \right)$, $\left( 5 , 0 \right)$을 각각 $\mathrm{A}'$, $\mathrm{B}'$이라 하고 두 직선 $x = - 5$, $x = 5$와 직선 $y = f ( x )$의 교점을 각각 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$라 하면 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$의 좌표는 각각 $\mathrm{A} \left( - 5 , \mathit{f} ( - 5 ) \right)$, $\mathrm{B} \left( 5 , \mathit{f} ( 5 ) \right)$이고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AA}'}} = f ( - 5 )$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{BB}'}} = f ( 5 )$ 점 $\mathrm{A}$를 지나고 $x$축에 평행한 직선이 선분 $\mathrm{BB}'$과 만나는 점을 $\mathrm{Q}$라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = f \left( - 5 \right) + f \left( 5 \right)$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{BQ}}} = f \left( 5 \right) - f \left( - 5 \right)$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{AQ}}} = 10$이므로 직각삼각형 $\mathrm{AQB}$에서 $\left\{ f \left( - 5 \right) + f \left( 5 \right) \right\} ^{2} = \left\{ f \left( 5 \right) - f \left( - 5 \right) \right\} ^{2} + 10 ^{2}$ $\left\{ f \left( - 5 \right) \right\} ^{2} + 2 f \left( - 5 \right) f \left( 5 \right) + \left\{ f \left( 5 \right) \right\} ^{2}$$= \left\{ f \left( - 5 \right) \right\} ^{2} - 2 f \left( - 5 \right) f \left( 5 \right) + \left\{ f \left( 5 \right) \right\} ^{2} + 100$이므로 $4 f \left( - 5 \right) f \left( 5 \right) = 100$ 따라서 $f \left( - 5 \right) f \left( 5 \right) = 25$