원의 접선과 방향벡터

[출제의도] 벡터의 크기를 이용하여 점 P가 나타내는 도형의 방정식과 방향벡터가 주어진 직선의 방정식을 구한 후, 두 직선이 이루는 예각의 크기를 이용하여 문제를 해결할 수 있는가? 좌표평면에서 점 $\mathrm{P}$의 좌표를 $( x , y )$라 하자. $\displaystyle \left| {\mathrm{\vec{OP}}} \right| = \sqrt{x ^{2} + y ^{2}} = 10$에서 $x ^{2} + y ^{2} = 100$ 점 $\mathrm{A} \mathit{(} a , b )$가 원 $x ^{2} + y ^{2} = 100$ 위의 점이므로 $a ^{2} + b ^{2} = 100$ $\cdots \text{㉠}$ 원 $x ^{2} + y ^{2} = 100$ 위의 점 $\mathrm{A} \mathit{(} a , b )$에서의 접선의 방정식은 $ax + by = 100$ 즉, $\displaystyle y = - \frac{a}{b} x + \frac{100}{b}$ 원점을 지나고 방향벡터가 $( 1 , 1 )$인 직선의 방정식은 $\displaystyle \frac{x}{1} = \frac{y}{1}$, 즉, $y = x$

두 직선 $\displaystyle y = - \frac{a}{b} x + \frac{100}{b} , y = x$가 $x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 각각 $\theta _{1} , \theta _{2}$라 하면 $\displaystyle \tan \theta 1 = - \frac{a}{b} , \tan \theta _{2} = 1$이고, $\theta = \theta _{1} - \theta _{2}$이다. 한편, $\displaystyle \cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{10}$이므로 $\tan ^{2} \theta = \sec ^{2} \theta - 1$$\displaystyle = \frac{1}{\cos ^{2} \theta} - 1$$\displaystyle = \left( \frac{10}{\sqrt{2}} \right) ^{2} - 1$$= 49$ $\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{2}$에서 $\tan \theta > 0$이므로 $\tan \theta = 7$ 이때, $\tan \theta = \tan \left( \theta _{1} - \theta _{2} \right)$$\displaystyle = \frac{\tan \theta _{1} - \tan \theta _{2}}{1 + \tan \theta _{1} \tan \theta _{2}}$ $\displaystyle = \frac{\left( - \frac{a}{b} \right) - 1}{1 + \left( - \frac{a}{b} \right) \times 1}$$\displaystyle = \frac{a + b}{a - b}$이므로 $\displaystyle \frac{a + b}{a - b} = 7$ $\displaystyle b = \frac{3}{4} a$ $\cdots \text{㉡}$ $\text{㉡}$을 $\text{㉠}$에 대입하면 $\displaystyle a ^{2} + \left( \frac{3}{4} a \right) ^{2} = 100$ $a ^{2} = 64$ $a > 0$이므로 $a = 8$ $a = 8$을 $\text{㉡}$에 대입하면 $\displaystyle b = \frac{3}{4} \times 8 = 6$ 따라서 $ab = 8 \times 6 = 48$