미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

원의 접선 tan θ

문제

그림과 같이 원 x2+y2=1x ^{2} + y ^{2} = 1 위의 점 A(−1,0)\mathrm{A} \left( - 1 , 0 \right)을 지나는 직선이 제11사분면에서 원과 만나는 점을 P\mathrm{P}, 점 P\mathrm{P}에서의 접선이 xx축과 만나는 점을 Q\mathrm{Q}라 하자. 삼각형 POQ\mathrm{POQ}의 넓이가 38\displaystyle \frac{3}{8}일 때, ∠PAO=θ\mathrm{\angle} PAO = \theta이다. tan⁡θ\tan \theta의 값은? (단, 점 O\mathrm{O}는 원점이다.) [4점]

θ\theta

①29\displaystyle \frac{2}{9}②36\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}③13\displaystyle \frac{1}{3}④66\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}⑤49\displaystyle \frac{4}{9}

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③

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해설

[출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 활용하여 문제해결하기 ∠PAO=θ\mathrm{\angle} PAO = \mathit{\theta}에서 ∠POQ=2θ\mathrm{\angle} POQ = \mathit{2} \theta이고, ∠OPQ=π2\displaystyle \mathrm{\angle} OPQ = \frac{\pi}{2}, OP‾=1\displaystyle \overline{\mathrm{OP}} = 1이므로 PQ‾=tan⁡2θ\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} = \tan 2 \theta이다. △POQ=12×OP‾×PQ‾\displaystyle \mathrm{\triangle} POQ = \frac{1}{2} \times {\mathrm{\overline{OP}}} \times {\mathrm{\overline{PQ}}} =12×1×tan⁡2θ\displaystyle = \frac{1}{2} \times 1 \times \tan 2 \theta=38\displaystyle = \frac{3}{8} tan⁡2θ=2tan⁡θ1−tan⁡2θ=34\displaystyle \tan 2 \theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan ^{2} \theta} = \frac{3}{4} 3tan⁡2θ+8tan⁡θ−3=03 \tan ^{2} \theta + 8 \tan \theta - 3 = 0 (3tan⁡θ−1)(tan⁡θ+3)=0( 3 \tan \theta - 1 ) ( \tan \theta + 3 ) = 0 따라서 tan⁡θ=13\displaystyle \tan \theta = \frac{1}{3} (∵\because0<θ<π4\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{4})

태그

#배각공식#접선

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