공통수학2원의 방정식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원의 접선 교점 거리

문제

반지름의 길이가 1010인 원 O\mathrm{O}의 내부에 한 점 P\mathrm{P}가 있다. 점 P\mathrm{P}를 지나고 직선 OP\mathrm{OP}에 수직인 직선이 원과 만나는 두 점을 A,B\mathrm{A} , B에서의 두 접선의 교점을 Q\mathrm{Q}라 하자. OP‾=5\displaystyle \mathrm{\overline{OP}} = 5일 때, 선분 PQ\mathrm{PQ}의 길이를 구하시오. [2점]

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해설

그림에서 ∠AOP=∠QAP\angle AOP = \angle QAP 이고 ∠OAP=∠AQP\angle OAP = \angle AQP이므로 △OAP\triangle OAP와 △AQP\triangle AQP는 닮은꼴이다. 따라서 PQ‾\displaystyle \overline{PQ}의 길이를 xx라 하면 AP‾=OA‾2−OP‾2\displaystyle \overline{AP} = \sqrt{{\overline{OA}} ^{2} - {\overline{OP}} ^{2}}=102−52=53\displaystyle = \sqrt{10 ^{2} - 5 ^{2}} = 5 \sqrt{3}이므로 OP‾:PA‾=PA‾:PQ‾\displaystyle \overline{OP} : \overline{PA} = \overline{PA} : \overline{PQ}에서 5:53=53:x\displaystyle 5 : 5 \sqrt{3} = 5 \sqrt{3} : x ∴x=15\therefore x = 15

태그

#접선#닮음

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