원의 접선 기울기 수열

[출제의도] 접선의 기울기를 이용하여 부분분수로 표현된 수열의 합을 구한다. 점 $( 2 n , 0 )$에서 원에 그은 접선 $l$의 기울기를 $m$이라 하면 $y = m ( x - 2 n )$ $mx - y - 2 mn = 0$ 이 직선이 중심이 $( - 1 , 0 )$이고 반지름의 길이가 $1$인 원에 접하므로 $\displaystyle \frac{| - m - 2 mn |}{\sqrt{m ^{2} + 1}} = 1$ $m ^{2} ( 2 n + 1 ) ^{2} = m ^{2} + 1$ $m ^{2} ( 4 n ^{2} + 4 n + 1 ) = m ^{2} + 1$ $4 n ( n + 1 ) m ^{2} = 1$ $\displaystyle m ^{2} = \frac{1}{4 n ( n + 1 )}$ $a _{n} = \left( \right.$접선 $l$의 기울기의 제곱$)$이므로 $a _{n}$$\displaystyle = \frac{1}{4 n ( n + 1 )}$ ∴ $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{40} a _{k}$$\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{40} \frac{1}{4 k ( k + 1 )}$ $\displaystyle = \frac{1}{4} \sum\limits _{k = 1} ^{40} \frac{1}{( k + 1 ) - k} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1} \right)$ $\displaystyle = \frac{1}{4} \sum\limits _{k = 1} ^{40} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1} \right)$ $\displaystyle = \frac{1}{4} \left\{ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{40} - \frac{1}{41} \right) \right\}$ $\displaystyle = \frac{1}{4} \left( 1 - \frac{1}{41} \right)$ $\displaystyle = \frac{10}{41}$ [다른 풀이] 점 ${\mathrm{A}} \mathit{_{n}}$을 $( 2 n , 0 )$, 원의 중심을 $\mathrm{C}$$( - 1 , 0 )$이라 하자. 점 ${\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{_{n}}}$에서 원에 그은 두 개의 접선 $l _{1}$, $l _{2}$의 접점을 각각 $\mathrm{T} _{1}$, $\mathrm{T} _{2}$라 하면 삼각형 $\mathrm{C} A \mathit{\mathrm{_{n}}} \mathrm{T} _{1}$은 $\displaystyle \overline{{\mathrm{A}} _{n{\mathrm{C}}}} \mathit{=} 2 n + 1$, $\displaystyle \mathrm{\overline{CT _{1}}} = 1$인 직각삼각형이므로 피타고라스의 정리에 의하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{T} _{1} \mathrm{A} \mathit{\mathrm{_{n}}}} = \sqrt{( 2 n + 1 ) ^{2} - 1} = \sqrt{4 n ( n + 1 )}$ $\angle \mathrm{CA} \mathit{\mathrm{_{n}}} \mathrm{T} _{1} = \theta$라 하면 접선 $l _{1}$의 기울기는 $\tan ( 180 ^\circ - \theta ) = - \tan \theta$ $\angle \mathrm{CA} \mathit{\mathrm{_{n}}} \mathrm{T} _{1} = \angle \mathrm{CA} \mathit{\mathrm{_{n}}} \mathrm{T} _{2}$이므로 접선 $l _{2}$의 기울기는 $\tan ( 180 ^\circ + \theta ) = \tan \theta$ $a _{n} = \tan ^{2} \theta$$\displaystyle = \frac{1}{4 n ( n + 1 )}$