미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

원의 접선 기울기 극한

문제

그림과 같이 곡선 y=xexy = xe ^{x} 위의 점 P(t,tet){\mathrm{P}} \left( t , te ^{t} \right)(t>0t > 0)을 중심으로 하고 yy축에 접하는 원을 CC라 하자. 원 CC의 반지름의 길이를 r(t)r \mathit{(} t ), 원점 O\mathrm{O}를 지나고 원 CC에 접하는 직선 중에서 yy축이 아닌 직선의 기울기를 m(t)m \left( t \right)라 할 때, lim⁡t→0+4r(t)−et×m(t)t\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {\frac{4 {r} \left( t \right) - {e ^{t}} \times {m} \left( t \right)}{t}}의 값을 구하시오. [4점]

y=xexy = xe ^{x}

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해설

r(t)=tr \left( t \right) = t이고, 원점 O\mathrm{O}를 지나는 원 CC의 접선의 방정식은 y=m(t)xy = m ( t ) x 점 P\mathrm{P}에서 접선까지의 거리는 원 CC의 반지름의 길이와 같으므로 t=∣t×m(t)−tet∣{m(t)}2+1\displaystyle t = \frac{\left| t \times m \left( t \right) - te ^{t} \right|}{\sqrt{\left\{ m \left( t \right) \right\} ^{2} + 1}} ∣m(t)−et∣={m(t)}2+1\displaystyle {\left| m \left( t \right) - e ^{t} \right|} = {\sqrt{\left\{ m \left( t \right) \right\} ^{2} + 1}} {m(t)−et}2={m(t)}2+1{\left\{ m \left( t \right) - e ^{t} \right\} ^{2} = \left\{ m \left( t \right) \right\} ^{2} + 1} et×m(t)=e2t−12\displaystyle e ^{t} \times m \left( t \right) = \frac{e ^{2t} - 1}{2} lim⁡t→0+4r(t)−et×m(t)t\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {\frac{4 r \left( t \right) - {e ^{t}} \times m \left( t \right)}{t}}=lim⁡t→0+4t−e2t−12t\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {\frac{{4 t - \frac{e ^{2t} - 1}{2}}}{t}} =lim⁡t→0+(4−e2t−12t)\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {\left( 4 - \frac{e ^{2 t} - 1}{2 t} \right)}=3= 3

태그

#지수함수 극한#원의 접선

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