원의 접선 기울기

[출제의도] 삼각함수의 배각공식을 이용하여 원의 접선의 기울기를 구하는 문제를 해결한다. 원 $C$ 위의 점 $\mathrm{P}$에서의 접선이 $x$축과 만나는 점을 $\mathrm{Q}$라 하고, 그림과 같이 $x$축에 점 $\mathrm{R}$를 잡자. (단, 점 $\mathrm{R}$의 $x$좌표는 점 $\mathrm{Q}$의 $x$좌표보다 크다.) 점 $\mathrm{Q}$에서 원 $C$에 그은 두 접선 $\mathrm{OQ}$, $\mathrm{PQ}$에 대하여 $\displaystyle \mathrm{\overline{OQ}} = {\overline{PQ}}$이므로 $\angle \mathrm{POQ} = \theta$라 하면 $\angle \mathrm{POQ} = \angle \mathrm{QPO} = \theta$이고 $\angle \mathrm{PQR}$$= 2 \theta$이다.

이때 $\displaystyle \tan \theta = \frac{2}{3}$이므로 원 $C$ 위의 점 $\mathrm{P}$에서의 접선$\mathrm{PQ}$의 기울기는 $\displaystyle \tan 2 \theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan ^{2} \theta}$$\displaystyle = \frac{2 \times \frac{2}{3}}{1 - \left( \frac{2}{3} \right) ^{2}} = \frac{12}{5}$