원의 일부가 함수의 그래프가 되는 조건

집합 $A$는 원 위의 점 중 $y \geq 2 x + k$를 만족시키는 점, 즉 직선이 원에서 잘라 낸 호 중 직선의 위쪽에 있는 것(끝점 포함)이다. 점의 집합이 $x$에 대한 함수의 그래프가 되려면 $y$축에 평행한 어느 직선과도 두 점 이상에서 만나지 않아야 한다. 원 위에서 $x$좌표가 같은 두 점은 $x$축을 사이에 두고 위아래로 놓인다. 점 $( - 5 , 0 )$이 직선의 위쪽(경계 제외)에 있으면 그 근처의 원 위의 점 중 $x$축 위쪽의 점과 아래쪽의 점이 모두 $A$에 들어가므로 $A$는 함수의 그래프가 될 수 없다. 따라서 $( - 5 , 0 )$은 직선 위 또는 아래쪽에 있어야 하고 $0 \leq 2 \times ( - 5 ) + k$, 즉 $k \geq 10$ 점 $( 5 , 0 )$에 대해서도 같은 이유로 $0 \leq 10 + k$이어야 하는데, 이는 $k \geq 10$이면 저절로 성립한다. $k = 10$일 때 직선 $y = 2 x + 10$과 원의 교점은 $x ^{2} + ( 2 x + 10 ) ^{2} = 25$, 즉 $x ^{2} + 8 x + 15 = 0$에서 $x = - 5$ 또는 $x = - 3$이므로 두 점 $( - 5 , 0 )$, $( - 3 , 4 )$이다. 원의 중심 $( 0 , 0 )$은 직선 $y = 2 x + 10$의 아래쪽에 있으므로 $A$는 두 점 $( - 5 , 0 )$, $( - 3 , 4 )$를 잇는 반원보다 작은 호이고, 이 호 위에서 $x$좌표는 $- 5$에서 $- 3$까지 한쪽으로만 변한다. 즉 $k = 10$일 때 $A$는 $y$축에 평행한 직선과 많아야 한 점에서 만나므로 함수의 그래프이다. 따라서 $k$의 최솟값은 $10$이다.