미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

원의 공통부분 넓이 급수

문제

좌표평면에서 점 (3,0)( 3 , 0 )을 중심으로 하고 반지름의 길이가 33인 원을 O1O _{1}이라 하고, xx축을 직선 l1l _{1}이라 하자. 직선 l1l _{1}을 원점을 중심으로 하여 45∘45 ^\circ만큼 회전시킨 직선을 l2l _{2}라 하고, 직선 l2l _{2}와 원 O1O _{1}의 두 교점을 지름의 양 끝점으로 하는 원을 O2{O} _{2}라 할 때, 두 원 O1{O} _{1}, O2{O} _{2}의 공통부분의 넓이를 S1S _{1}이라 하자. 직선 l2l _{2}를 원점을 중심으로 하여 45∘45 ^\circ만큼 회전시킨 직선을 l3l _{3}이라 하고, 직선 l3l _{3}과 원 O2{O} _{2}의 두 교점을 지름의 양 끝점으로 하는 원을 O3{O} _{3}이라 할 때, 두 원 O2{O} _{2}, O3{O} _{3}의 공통부분의 넓이를 S2S _{2}라 하자. 직선 l3l _{3}을 원점을 중심으로 하여 45∘45 ^\circ만큼 회전시킨 직선을 l4l _{4}라 하고, 직선 l4l _{4}와 원 O3{O} _{3}의 두 교점을 지름의 양 끝점으로 하는 원을 O4{O} _{4}라 할 때, 두 원 O3{O} _{3}, O4{O} _{4}의 공통부분의 넓이를 S3S _{3}이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 부분의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, ∑n=1∞Sn\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} S _{n}의 값은? [4점] ①6(π−1)6 ( \pi - 1 )②7(π−1)7 ( \pi - 1 )③8(π−1)8 ( \pi - 1 )④9(π−1)9 ( \pi - 1 )⑤10(π−1)10 ( \pi - 1 )

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④

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해설

원 O1O _{1}과 직선 l2l _{2}의 한 교점을 A1\mathrm{A} _{1}, 원 O1O _{1}의 중심을 B1(3,0)\mathrm{B} _{1} ( 3 , 0 )이라 하면 삼각형 A1OB1\mathrm{A _{1} O B _{1}}은 직각이등변삼각형이므로 OA1‾=32\displaystyle \overline{\mathrm{O} A _{1}} = 3 \sqrt{2} S1=12π(322)2+94π−92=92(π−1)\displaystyle S _{1} = \frac{1}{2} \pi \left( \frac{3 \sqrt{2}}{2} \right) ^{2} + \frac{9}{4} \pi - \frac{9}{2} = \frac{9}{2} ( \pi - 1 )

같은 방법으로 원 O2O _{2}와 직선 l3l _{3}의 한 교점을 A2\mathrm{A} _{2}, 원 O2O _{2}의 중심을 B2\mathrm{B} _{2}라 하면 삼각형 A2OB2\mathrm{A _{2} O B _{2}}는 직각이등변삼각형이므로 OA2‾=3\displaystyle \overline{\mathrm{O} A _{2}} = 3 S2=12π(32)2+π4(322)2−12(322)2=94(π−1)\displaystyle S _{2} = \frac{1}{2} \pi \left( \frac{3}{2} \right) ^{2} + \frac{\pi}{4} \left( \frac{3 \sqrt{2}}{2} \right) ^{2} - \frac{1}{2} \left( \frac{3 \sqrt{2}}{2} \right) ^{2} = \frac{9}{4} ( \pi - 1 ) ⋯\cdots Sn=92n(π−1)\displaystyle S _{n} = \frac{9}{2 ^{n}} ( \pi - 1 ) 수열 {Sn}\left\{ S _{n} \right\}은 첫째항이 92(π−1)\displaystyle \frac{9}{2} ( \pi - 1 ), 공비가 12\displaystyle \frac{1}{2}인 등비수열이므로 ∑n=1∞Sn=92(π−1)1−12=9(π−1)\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} S _{n} = \frac{\frac{9}{2} ( \pi - 1 )}{1 - \frac{1}{2}} = 9 ( \pi - 1 )

태그

#등비급수#원

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