공통수학2원의 방정식수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

원의 두 접선 각

문제

좌표평면에서 직선 x+y=2\displaystyle x + y = \sqrt{2} 위의 임의의 점과 원 (x−52)2+(y−52)2=16\displaystyle ( x - 5 \sqrt{2} ) ^{2} + ( y - 5 \sqrt{2} ) ^{2} = 16 위의 임의의 점 사이의 거리를 ll이라 하자. ll이 최소가 되는 직선 위의 점에서 원에 그은 두 접선이 이루는 예각 θ\theta에 대하여 cos⁡θ=ba\displaystyle \cos \theta = \frac{b}{a} (a,ba , b는 서로소인 자연수)일 때, a−ba - b의 값을 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] 도형을 이용하여 삼각함수의 값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. 원 위의 점과 직선사이의 점 사이의 최소거리 ll은 원의 중심 O(52,52)\displaystyle \mathrm{O} ( 5 \sqrt{2} , 5 \sqrt{2} )에서 직선 x+y=2\displaystyle x + y = \sqrt{2}까지의 거리 ∣52+52−2∣1+1=9\displaystyle \frac{| 5 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} - \sqrt{2} |}{\sqrt{1 + 1}} = 9 이다. 거리가 최소인 직선위의 점 P\mathrm{P}에서 원에 그은 한 접선의 접점을 Q\mathrm{Q}라 하고, ∠OPQ\angle \mathrm{OPQ}를 θ2\displaystyle \frac{\theta}{2}라 하면 sin⁡θ2=49\displaystyle \sin \frac{\theta}{2} = \frac{4}{9} 가 된다. cos⁡θ=1−2sin⁡2θ2=1−2(49)2=4981\displaystyle \cos \theta = 1 - 2 \sin ^{2} \frac{\theta}{2} = 1 - 2 \left( \frac{4}{9} \right) ^{2} = \frac{49}{81} 이 되어 a−b=32a - b = 32이다.

태그

#원#접선#점과 직선 거리

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