원의 방정식 조건에서 x+y의 최댓값

주어진 식을 완전제곱 꼴로 고치면 $( x - 2 ) ^{2} + ( y - 1 ) ^{2} = 8$ $x - 2 = a$, $y - 1 = b$라 하면 $a ^{2} + b ^{2} = 8$이고 $x + y = a + b + 3$이다. 코시-슈바르츠 부등식에 의하여 $( 1 ^{2} + 1 ^{2} ) ( a ^{2} + b ^{2} ) \geq ( a + b ) ^{2}$ $2 \times 8 \geq ( a + b ) ^{2}$이므로 $- 4 \leq a + b \leq 4$ 등호는 $a = b$일 때, 즉 $a = b = 2$일 때 성립한다. 이때 $x = 4$, $y = 3$이고 $16 + 9 - 16 - 6 = 3$이므로 조건을 만족시킨다. 따라서 $x + y$의 최댓값은 $4 + 3 = 7$ ③