대수지수와 로그수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원통형 축전기 용량

문제

그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 각각 R1(m)R _{1} \left( \mathrm{m} \right), R2(m)R _{2} \left( \mathrm{m} \right) (R1<R2)\left( R _{1} < R _{2} \right)이고 높이가 L(m)L \left( \mathrm{m} \right)인 두 원기둥 모양의 도체를 이용하여 밑면의 중심이 일치하도록 만든 원통형 축전기의 전기용량 CC(F\mathrm{F})는 다음과 같이 계산된다고 한다. C=2πkLlog⁡R2−log⁡R1\displaystyle C = \frac{2 \pi kL}{\log R _{2} - \log R _{1}} (단, kk는 상수이다.)

높이 LL이 일정할 때, R2R _{2}가 R1R _{1}의 22배인 원통형 축전기의 전기용량이 5(F)5 \left( \mathrm{F} \right)이면, R2R _{2}가 R1R _{1}의 88배인 원통형 축전기의 전기용량(F)( \mathrm{F} )은? [4점] ①11②54\displaystyle \frac{5}{4}③53\displaystyle \frac{5}{3}④52\displaystyle \frac{5}{2}⑤33

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③

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해설

[출제의도] 로그를 활용하여 문제해결하기 R2R _{2}가 R1R _{1}의 22배인 원통형 축전기의 전기용량이 55(F\mathrm{F})이므로 5=2πkLlog⁡2R1−log⁡R1=2πkLlog⁡2R1R1=2πkLlog⁡2\displaystyle 5 = \frac{2 \pi kL}{\log 2 R _{1} - \log R _{1}} = \frac{2 \pi kL}{\log \frac{2 R _{1}}{R _{1}}} = \frac{2 \pi kL}{\log 2}이다. ∴2πkL=5log⁡2\therefore 2 \pi kL = 5 \log 2 따라서 R2R _{2}가 R1R _{1}의 88배인 원통형 축전기의 전기용량(F\mathrm{F})은 2πkLlog⁡8R1−log⁡R1=5log⁡2log⁡8R1R1=5log⁡2log⁡8=5log⁡23log⁡2=53\displaystyle \frac{2 \pi kL}{\log 8 R _{1} - \log R _{1}} = \frac{5 \log 2}{\log \frac{8 R _{1}}{R _{1}}} = \frac{5 \log 2}{\log 8} = \frac{5 \log 2}{3 \log 2} = \frac{5}{3}

태그

#로그 활용#실생활

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