공통수학2집합AI발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원소를 2배한 집합과 원소의 합

문제

자연수를 원소로 하는 집합 AA의 원소의 개수는 33이다. 집합 B={2x∣x∈A}B = \left\{ 2 x | x \in A \right\}가 다음 조건을 만족시킬 때, 집합 AA의 모든 원소의 합을 구하시오. [4점]

(가) A∩B={6}A \cap B = \left\{ 6 \right\} (나) 집합 A∪BA \cup B의 모든 원소의 합은 5151이다.

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해설

6∈B6 \in B이므로 3∈A3 \in A이고, 6∈A6 \in A이다. A={3,6,c}A = \left\{ 3 , 6 , c \right\}라 하면 B={6,12,2c}B = \left\{ 6 , 12 , 2 c \right\} A∩B={6}A \cap B = \left\{ 6 \right\}이므로 12∉A12 \notin A, 2c∉A2 c \notin A, 즉 c≠12c \ne 12, c≠3c \ne 3 따라서 A∪B={3,6,12,c,2c}A \cup B = \left\{ 3 , 6 , 12 , c , 2 c \right\}이고 원소의 개수는 55이다. 조건 (나)에서 3+6+12+c+2c=513 + 6 + 12 + c + 2 c = 51, 3c=303 c = 30 c=10c = 10 이때 A={3,6,10}A = \left\{ 3 , 6 , 10 \right\}, B={6,12,20}B = \left\{ 6 , 12 , 20 \right\}이므로 조건 (가)를 만족시킨다. 따라서 집합 AA의 모든 원소의 합은 3+6+10=193 + 6 + 10 = 19

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#집합#배수#합집합#원소의 합

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