원소가 3개가 되는 사차방정식

실마리: $x ^{2} - 2 x = t$로 놓고 $t$ 하나에 $x$가 몇 개 대응되는지를 먼저 본다. $x ^{2} - 2 x = t$, 즉 $x ^{2} - 2 x - t = 0$의 판별식을 $D$라 하면 $\displaystyle \frac{D}{4} = 1 + t$이므로 $t > - 1$이면 $x$는 $2$개, $t = - 1$이면 $x$는 $1$개, $t \leftarrow 1$이면 $x$는 없다. 따라서 $x$의 개수는 짝수가 되기 쉽고, 홀수인 $3$이 되려면 $t = - 1$이 반드시 나와야 한다. $t$는 $t ^{2} - 4 t + k = 0$의 근이므로 $t = - 1$을 대입하면 $1 + 4 + k = 0$에서 $k = - 5$ 이때 $t ^{2} - 4 t - 5 = 0$에서 $( t + 1 ) ( t - 5 ) = 0$이므로 $t = - 1$ 또는 $t = 5$ $t = - 1$일 때 $x ^{2} - 2 x + 1 = 0$에서 $x = 1$ $t = 5$일 때 $x ^{2} - 2 x - 5 = 0$에서 $\displaystyle x = 1 - \sqrt{6}$ 또는 $\displaystyle x = 1 + \sqrt{6}$ 즉 $\displaystyle A _{k} = \left\{ 1 , 1 - \sqrt{6} , 1 + \sqrt{6} \right\}$이므로 $n ( A _{k} ) = 3$이 맞다. 따라서 모든 원소의 합은 $\displaystyle 1 + ( 1 - \sqrt{6} ) + ( 1 + \sqrt{6} ) = 3$