대수지수와 로그수능 기출기본 문제 (3점 중반)

원소 밀도와 높이

문제

공기는 산소, 수소, 질소 등과 같은 여러 가지 원소들로 이루어져 있다. 지표면에서부터 높이가 xx(km)인 곳에서의 어떤 원소의 밀도를 n(x)n ( x )라 하면 관계식 log⁡n(x)=log⁡n0−kx\log n ( x ) = \log n _{0} - k x (단, n0n _{0}은 지표면에서의 밀도, kk는 양의 상수)가 성립한다고 한다. 이 원소의 밀도가 지표면에서의 밀도의 12\displaystyle \frac{1}{2}배, 11000\displaystyle \frac{1}{1000}배가 되는 높이를 각각 x1x _{1}, x2x _{2}라 할 때, x2x1\displaystyle \frac{x _{2}}{x _{1}}의 값은? (단, log⁡2=0.3\log 2 = 0.3으로 계산한다.) [4점] ①55②88③1010④1515⑤2020

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③

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해설

지표면에서 원소의 밀도를 aa라 하면 밀도가 12\displaystyle \frac{1}{2}배인 지점 x1x _{1}에서 다음 관계가 성립한다. log⁡12a=log⁡a−kx1\displaystyle \log \frac{1}{2} a = \log a - kx _{1} ∴x1=log⁡2k\displaystyle \therefore x _{1} = \frac{\log 2}{k} 마찬가지로 원소의 밀도가 11000\displaystyle \frac{1}{1000}배인 지점 x2x _{2}에서 관계식은 log⁡11000a=log⁡a−kx2\displaystyle \log \frac{1}{1000} a = \log a - kx _{2} ∴x2=3k\displaystyle \therefore x _{2} = \frac{3}{k} 따라서 x2x1=3klog⁡2k=3log⁡2=30.3=10\displaystyle \frac{x _{2}}{x _{1}} = \frac{\frac{3}{k}}{\frac{\log 2}{k}} = \frac{3}{\log 2} = \frac{3}{0.3} = 10

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