원소 합의 곱 최대

[출제의도] 산술평균과 기하평균 사이의 관계를 이용하여 최댓값을 구하는 문제해결력을 묻는 문제이다. $A \cup B = \left\{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 \right\} , A \cap B = \left\{ 3 , 4 \right\}$에서 $S ( A ) + S ( B ) = S ( A \cup B ) + S ( A \cap B )$ $= ( 1 + 2 + \cdots + 9 ) + ( 3 + 4 )$=$52$ (산술평균)$\mathbf{\geq}$(기하평균)에서 $\displaystyle \frac{S ( A ) + S ( B )}{2} \geq \sqrt{S ( A ) S ( B )}$ (단, 등호는 $S ( A ) = S ( B )$일 때 성립한다.) $\displaystyle \frac{52}{2} \geq \sqrt{S ( A ) S ( B )}$ ∴$S ( A ) S ( B ) \leq 26 ^{2} = 676$ 등호는 $S ( A ) = S ( B ) = 26$일 때 성립한다. 따라서 구하는 최댓값은 $676$이다. 참고로 $A = \left\{ 2 , 3 , 4 , 8 , 9 \right\}$, $B = \left\{ 1 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 \right\}$일 때, $S ( A ) = S ( B ) = 26$이 되어 등호가 성립하는 경우가 존재한다.