원소 합 조건 집합

조건 (가), (나), (다)를 만족시키는 두 집합 $A , B$에 대하여 $S ( A ) - S ( B )$의 값이 최대가 되려면 $S ( A )$의 값이 최대이고 $S ( B )$의 값이 최소이어야 한다. $9$로 나눈 나머지가 같은 원소들로 이루어진 부분집합을 표로 나타내면 다음과 같다.

나머지의 합이 $0$ 또는 $9$가 되는 두 부분집합 중 한 집합의 원소들만 집합 $A$에 속할 수 있다. 따라서 $S ( A )$가 최대가 되려면 집합 $U$의 부분집합 $\left\{ 1 , 10 , 19 \right\}$, $\left\{ 2 , 11 , 20 \right\}$, $\left\{ 6 , 15 \right\}$, $\left\{ 5 , 14 \right\}$, $\left\{ 18 \right\}$의 원소 중 큰 수부터 차례대로 집합 $A$의 원소가 되어야 한다. 조건 (가)에서 $n ( A ) = 8$이므로 $S ( A )$가 최대가 되기 위해 가능한 집합 $A$는 $\left\{ 6 , 10 , 11 , 14 , 15 , 18 , 19 , 20 \right\}$ $\cdots \cdots$ ㉠ $10$으로 나눈 나머지가 같은 원소들로 이루어진 부분집합을 표로 나타내면 다음과 같다.

나머지의 합이 $0$ 또는 $10$이 되는 두 부분집합 중 한 집합의 원소들만 집합 $B$에 속할 수 있다. 따라서 $S ( B )$가 최소가 되려면 집합 $U$의 부분집합 $\left\{ 1 , 11 \right\}$, $\left\{ 2 , 12 \right\}$, $\left\{ 3 , 13 \right\}$, $\left\{ 4 , 14 \right\}$, $\left\{ 5 \right\}$, $\left\{ 10 \right\}$의 원소 중 작은 수부터 차례대로 집합 $B$의 원소가 되어야 한다. 조건 (가)에서 $n ( B ) = 8$이므로 $S ( B )$가 최소가 되기 위해 가능한 집합 $B$는 $\left\{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 10 , 11 , 12 \right\}$ $\cdots \cdots$ ㉡ ㉠과 ㉡에서 조건 (가)의 $n ( A \cap B ) = 1$을 만족시키려면 $10 , 11$은 동시에 집합 $A \cap B$에 속할 수 없다. $10 \in B$, $11 \in B$이면 $10 \notin A$ 또는 $11 \notin A$이다. 이때, $1 , 2 , 5$ 중 적어도 하나가 집합 $A$에 속해야 하므로 $n ( A \cap B ) \ne 1$이 되어 조건 (가)를 만족시키지 않는다. $S ( B )$가 최소가 되려면 $10 \in B$, $11 \notin B$이어야 한다. 따라서 $A = \left\{ 6 , 10 , 11 , 14 , 15 , 18 , 19 , 20 \right\}$, $B = \left\{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 10 , 12 , 13 \right\}$일 때 $S ( A ) - S ( B )$의 최댓값은 $63$이다.