원소 합 함수 불연속

[출제의도] 미분법을 활용하여 추론하기 $f \left( x \right) = ax ^{2} + bx + c$$\displaystyle \begin{matrix} ( \end{matrix}$$a$, $b$, $c$는 상수$\displaystyle \begin{matrix} ) \end{matrix}$라 하면 $g' \left( x \right)$$= e ^{x} \left\{ f \left( x \right) + f' \left( x \right) \right\}$$= e ^{x} \left\{ ax ^{2} + \left( 2 a + b \right) x + b + c \right\}$ 함수 $g \left( x \right)$가 극값을 갖지 않으면 조건 (가)를 만족시키지 않으므로 함수 $g \left( x \right)$는 극값을 갖는다.

함수 $g \left( x \right)$가 $x = \alpha$에서 극댓값, $x = \beta$에서 극솟값을 갖는다고 하면 $g' \left( x \right)$$= e ^{x} \left\{ a \left( x - \alpha \right) \left( x - \beta \right) \right\}$ 함수 $h \left( k \right)$는 $k = t$$\left( t \ne g \left( \alpha \right) , t \ne g \left( \beta \right) \right)$에서 $\displaystyle \lim\limits _{k \rightarrow t -} {h \left( k \right) \mathit{=} \lim\limits _{k \rightarrow t +} {h \left( k \right)} \mathit{=} h \left( t \right)}$ 그러므로 함수 $h \left( k \right)$는 $k = t$$\left( t \ne g \left( \alpha \right) , t \ne g \left( \beta \right) \right)$에서 연속이다. 조건 (가)에 의하여 함수 $h \left( k \right)$가 $k = t$에서 불연속인 $t$의 개수가 $1$이므로 함수 $h \left( k \right)$는 $k = g \left( \alpha \right)$에서 연속이고 $k = g \left( \beta \right)$에서 불연속 또는 $k = g \left( \alpha \right)$에서 불연속이고 $k = g \left( \beta \right)$에서 연속이다. (ⅰ) 함수 $h \left( k \right)$가 $k = g \left( \alpha \right)$에서 연속이고 $k = g \left( \beta \right)$에서 불연속인 경우 $\displaystyle \lim\limits _{k \rightarrow g \left( \alpha \right) -} {h \left( k \right) \mathit{=} 2 \alpha + \mathit{\alpha} _{1}}$ $\displaystyle \lim\limits _{k \rightarrow g \left( \alpha \right) +} {h \left( k \right) \mathit{=} \mathit{\alpha} _{1}}$ $h \left( g \left( \alpha \right) \right) \mathit{=} \alpha + \alpha _{1}$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{k \rightarrow g \left( \alpha \right) -} {h \left( k \right) \mathit{=}} \lim\limits _{k \rightarrow g \left( \alpha \right) +} {h \left( k \right) \mathit{=} \mathit{h} \left( g \left( \alpha \right) \right)}$에서 $2 \alpha + \alpha _{1} = \alpha _{1} = \alpha + \alpha _{1}$ 그러므로 $\alpha = 0$ 함수 $h \left( k \right)$는 $k = g \left( \beta \right)$에서 불연속이므로 $\displaystyle \lim\limits _{k \rightarrow g \left( \beta \right) +} {h \left( k \right) \mathit{-} \lim\limits _{k \rightarrow g \left( \beta \right) -} {h \left( k \right)} \mathit{=} 2 \beta \ne 0}$ 조건 (나)에 의하여 $\beta = 1$, $g \left( \beta \right) = 3 e$ $g' \left( 0 \right) \mathit{=} 0$, $g' \left( 1 \right) \mathit{=} 0$이므로 $g' \left( x \right)$$= e ^{x} \left\{ ax \left( x - 1 \right) \right\}$ $g \left( x \right)$$= e ^{x} \left\{ a \left( x ^{2} - 3 x + 3 \right) \right\}$ $g \left( 1 \right) \mathit{=} 3 e$이므로 $a = 3$ 최고차항의 계수가 $3$이므로 주어진 조건을 만족시키지 않는다. (ⅱ) 함수 $h \left( k \right)$가 $k = g \left( \alpha \right)$에서 불연속이고 $k = g \left( \beta \right)$에서 연속인 경우 $\displaystyle \lim\limits _{k \rightarrow g \left( \beta \right) -} {h \left( k \right) \mathit{=} \beta _{1}}$ $\displaystyle \lim\limits _{k \rightarrow g \left( \beta \right) +} {h \left( k \right) \mathit{=} \mathit{2} \beta + \beta _{1}}$ $h \left( g \left( \beta \right) \right) \mathit{=} \beta + \beta _{1}$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{k \rightarrow g \left( \beta \right) -} {h \left( k \right) \mathit{=} \lim\limits _{k \rightarrow g \left( \beta \right) +} {h \left( k \right) \mathit{=} \mathit{h} \left( g \left( \beta \right) \right)}}$에서 $\beta _{1} = 2 \beta + \beta _{1} = \beta + \beta _{1}$ 그러므로 $\beta = 0$ 함수 $h \left( k \right)$는 $k = g \left( \alpha \right)$에서 불연속이므로 $\displaystyle \lim\limits _{k \rightarrow g \left( \alpha \right) +} {h \left( k \right) - \lim\limits _{k \rightarrow g \left( \alpha \right) -} {h \left( k \right)} \mathit{=} \mathit{-} 2 \alpha \ne 0}$ 조건 (나)에 의하여 $\alpha = \mathit{-} 1$, $g \left( \alpha \right) \mathit{=} 3 e$ $g' \left( 0 \right) \mathit{=} 0$, $g' \left( - 1 \right) \mathit{=} 0$이므로 $g' \left( x \right)$$= e ^{x} \left\{ ax \left( x + 1 \right) \right\}$ $g \left( x \right)$$= e ^{x} \left\{ a \left( x ^{2} - x + 1 \right) \right\}$ $g \left( - 1 \right) \mathit{=} 3 e$이므로 $a = e ^{2}$ $g \left( x \right) \mathit{=} e ^{x + 2} \left( x ^{2} - x + 1 \right)$ 따라서 $g \left( - 6 \right) \times g \left( 2 \right)$$= 43 e ^{- 4} \times 3 e ^{4}$$= 129$