원료 제한 최대 순이익

[출제의도] 부등식의 영역을 활용하여 실생활 문제 해결하기 제품 $\mathrm{A} , B$를 하루에 각각 $x$개, $y$개 만든다고 하면 (ⅰ) $\displaystyle {\begin{cases} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x + 2 y \leq 15 \\ 3 x + y \leq 20 \end{cases}}$을 만족하는 부등식의 영역은 [그림1]의 색칠된 부분이다.

$( 5 , 5 )$ $\displaystyle \frac{15}{2}$ $\displaystyle \frac{20}{3}$

[그림1] 이때, 순이익 $30 x + 20 y = k _{1}$(만 원)은 두 직선 $x + 2 y = 15$, $3 x + y = 20$의 교점 $( 5 , 5 )$를 지날 때 최대이므로 $k _{1} = 30 \times 5 + 20 \times 5 = 250$(만 원) $\therefore a = 2500000$ (ⅱ) $\mathrm{Q}$의 양이 줄었을 때, $\displaystyle {\begin{cases} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x + 2 y \leq 15 \\ 3 x + y \leq 15 \end{cases}}$를 만족하는 부등식의 영역은 [그림2]의 색칠된 부분이다.

$( 3 , 6 )$ $\displaystyle \frac{15}{2}$

[그림2] 이때, 순이익 $30 x + 20 y = k _{2}$(만 원)은 두 직선 $x + 2 y = 15$, $3 x + y = 15$의 교점 $( 3 , 6 )$을 지날 때 최대이므로 $k _{2} = 30 \times 3 + 20 \times 6 = 210$(만 원) $\therefore b = 2100000$ 따라서 $a - b = 400000$이다.