대수삼각함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원뿔 옆면 최단거리

문제

그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 22, 모선의 길이가 66, 꼭지점이 O\mathrm{O}인 직원뿔에 대하여, 밑면의 지름의 양끝을 A,B\mathrm{A} , B라 하고 OA‾\displaystyle \mathrm{\overline{OA}}의 중점을 A′\mathrm{A}'라 하자. 점 P\mathrm{P}가 점 B\mathrm{B}에서부터 직원뿔의 옆면을 따라 점 A′\mathrm{A}'까지 움직인 최단거리는? [4점]

①3\displaystyle \sqrt{3}②23\displaystyle 2 \sqrt{3}③33\displaystyle 3 \sqrt{3}④43\displaystyle 4 \sqrt{3}⑤53\displaystyle 5 \sqrt{3}

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③

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해설

[출제의도] 제이코사인법칙을 이용하여 선분의 길이 구하기

직원뿔의 전개도에서 (부채꼴의 호의 길이) ==(직원뿔 밑면의 원 둘레의 길이) =4π= 4 \pi 부채꼴의 중심각은 4π6=23π\displaystyle \frac{4 \pi}{6} = \frac{2}{3} \pi이므로,∠AOB=π3\displaystyle \angle \mathrm{AOB} \mathit{=} \frac{\pi}{3} 점P\mathrm{P}가 움직인 최단거리는 A′B‾\displaystyle \mathrm{\overline{A' B}} 제이코사인법칙을 이용하면 A′B‾2=32+62−2×3×6×cos⁡π3=27\displaystyle {\overline{\mathrm{A}' B}} ^{2} = 3 ^{2} + 6 ^{2} - 2 \times 3 \times 6 \times \cos \frac{\pi}{3} = 27 ∴ A′B‾=33\displaystyle \overline{\mathrm{A}' B} = 3 \sqrt{3}

태그

#전개도#코사인법칙

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