원뿔 산의 최단 궤도

밑면의 반지름의 길이가 20이고 원뿔의 모선의 길이는 60이므로 주어진 원뿔의 옆면인 부채꼴의 중심각의 크기를 $\theta$라 하면 $60 \theta = 2 \pi \times 20$ $\displaystyle \therefore \theta = \frac{2 \pi}{3}$

$\displaystyle CD = 50 \cos \alpha = 60 \cos \left( \frac{2}{3} \pi - \alpha \right)$ $\cdots ( \text{ㄱ} )$ $\displaystyle 60 \cos \left( \frac{2}{3} \pi - \alpha \right) = 60 \left\{ \cos \left( \frac{2}{3} \pi \right) \cos \alpha + \sin \left( \frac{2}{3} \pi \right) \sin \alpha \right\}$ $\displaystyle = - 30 \cos \alpha + 30 \sqrt{3} \sin \alpha$ 이므로 (ㄱ)에 대입하면 $\displaystyle 50 \cos \alpha = - 30 \cos \alpha + 30 \sqrt{3} \sin \alpha$ $\displaystyle 80 \cos \alpha = 30 \sqrt{3} \sin \alpha$ $\displaystyle \tan \alpha = \frac{8}{3 \sqrt{3}} = \frac{8 \sqrt{3}}{9}$ 에서 $\displaystyle 0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ 이므로 $\displaystyle \sin \alpha = \frac{8}{\sqrt{91}}$ $\displaystyle \therefore BD = 50 \sin \alpha = \frac{400}{\sqrt{91}}$ [다른풀이1] 직원뿔을 펼치면 다음 그림과 같다.

$\displaystyle \mathrm{\angle} AOB = \frac{40 \pi}{60} = \frac{2}{3} \pi$ 코사인제이법칙에 의해서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB ^{2}}} = 60 ^{2} + 50 ^{2} - 2 \cdot 60 \cdot 50 \cdot \cos \frac{2}{3} \pi = 9100$ $\displaystyle \therefore \overline{\mathrm{AB}} = 10 \sqrt{91}$ $\displaystyle \mathrm{\triangle} OAB = \frac{1}{2} \cdot 10 \sqrt{91} \cdot \mathit{h}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot 50 \cdot \sin \frac{2}{3} \pi$ $\displaystyle \therefore h = \frac{150 \sqrt{3}}{\sqrt{91}}$ $\displaystyle \overline{\mathrm{CB} ^{2}} = 50 ^{2} - \left( \frac{150 \sqrt{3}}{\sqrt{91}} \right) ^{2} = \frac{2500 \times 64}{91}$ 따라서 내리막길의 길이$\displaystyle = \overline{\mathrm{CB}} = \frac{400}{\sqrt{91}}$ [다른풀이2]

$l = r \theta$에서 $40 \pi = 60 \theta$ $\displaystyle \therefore \theta = \frac{2}{3} \pi$ 위의 그림과 같은 원뿔의 전개도에서 $A$와 $B$의 최단 거리는 $\displaystyle \overline{AB}$이다. $C$에서 $\displaystyle \overline{AB}$에 가장 가까운 지점을 $D$라 하면 $A$에서 $D$까지는 오르막길, $D$에서 $B$까지는 내리막길이 된다. $\triangle ACB$에서 제 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle \overline{AB} ^{2} = 60 ^{2} + 50 ^{2} - 2 \cdot 60 \cdot 50 \cdot \cos 120 ^{\circ} = 9100$ $\displaystyle \therefore \overline{AB} = \sqrt{9100} = 10 \sqrt{91}$ $\triangle ACB$의 넓이를 $S$라 하면 $\displaystyle S = \frac{1}{2} \times 60 \times 50 \times \sin 120 ^{\circ} = 750 \sqrt{3}$ 한편, $\displaystyle S = \frac{1}{2} \overline{AB} \cdot \overline{CD}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \cdot 10 \sqrt{91} \cdot \overline{CD}$$\displaystyle = 750 \sqrt{3}$ $\displaystyle \therefore \overline{CD} = \frac{150 \sqrt{3}}{\sqrt{91}}$ $\triangle CBD$에서 $\displaystyle \overline{BD} ^{2} = \overline{BC} ^{2} - \overline{CD} ^{2}$$\displaystyle = 50 ^{2} - \left( \frac{150 \sqrt{3}}{\sqrt{91}} \right) ^{2}$$\displaystyle = \frac{400 ^{2}}{91}$ $\displaystyle \therefore \overline{BD} = \frac{400}{\sqrt{91}}$