원뿔 단면의 정사영

[출제의도] 공간도형 문제해결하기 평면 $\alpha$에 의해 잘린 구 $S$의 단면을 $S _{1}$, 원뿔 $C$의 밑면을 $S _{2}$라 하자. 평면 $\alpha$를 위에서 수직으로 내려다보면 다음 그림과 같다.

$\displaystyle {\overline{OB}} = \sqrt{2 ^{2} + ( - 3 ) ^{2} + 1} = \sqrt{14}$, $\displaystyle {\overline{BQ}} = 2$이고 $\displaystyle \angle BQO = \frac{\pi}{2}$이므로 $\displaystyle {\overline{OQ}} = \sqrt{10}$ $\angle BOQ = \theta'$라 할 때, 삼각형 $BOP$와 삼각형 $BOQ$는 합동이므로 $\angle BOP = \theta'$이다. 이때, $\displaystyle \cos \theta' = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{14}} , \sin \theta' = \frac{2}{\sqrt{14}}$이다. 한편 점 $A$에서 직선 $OQ$에 내린 수선의 발을 $H$라 하고, 직선 $BP$를 포함하고 평면 $\alpha$에 수직인 평면을 $\gamma$라 할 때, 두 평면 $\beta$와 $\gamma$가 이루는 이면각은 $\angle BAH$와 같다. 사각형 $BAHQ$에서 $\angle ABQ + \angle BAH = \pi \cdots ( \text{ㄱ} )$ 사각형 $BPOQ$에서 $\angle PBQ + \angle POQ = \pi \cdots ( \text{ㄴ} )$ $\angle ABQ = \angle PBQ$이므로 (ㄱ),(ㄴ)에서 $\angle BAH = \angle POQ$ 즉 $\angle BAH = \theta$라 하면 $\theta = \theta' + \theta'$이고 $\displaystyle \cos \theta = \cos ( \theta' + \theta' ) = \cos ^{2} \theta' - \sin ^{2} \theta' = \frac{3}{7}$ 평면 $\gamma$는 원뿔 $C$의 밑면의 중심을 지나고 평면 $\alpha$에 수직이므로 원뿔 $C$의 높이를 $a$라 하면 (단면의 넓이)=$\displaystyle \frac{1}{2} \times 4 a = 2 a$ (정사영의 넓이)=$\displaystyle 2 a \cos \theta = 2 a \times \frac{3}{7} = \frac{6 a}{7} = \frac{30}{7}$ $\therefore a = 5$