원뿔 단면 타원 정사영

[출제의도] 평면과 원뿔이 만나서 이루는 도형을 추측하여 좌표를 구한다. 원뿔을 $yz$평면으로 자른 단면은 $yz$평면 위의 두 점 $\mathrm{P} \left( 0 , 1 , 2 \right)$, $\mathrm{R} ( 0 , - 1 , 2 )$와 원점 $\mathrm{O}$를 세 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\mathrm{O} PR$이다.

선분 $\mathrm{O} R$와 평면 $\alpha$의 교점을 $\mathrm{Q}$라 하자. 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$를 $xy$평면에 내린 정사영을 각각 $\mathrm{P}'$, $\mathrm{Q}'$이라 할 때 도형 $S$의 $xy$평면 위로의 정사영의 장축의 길이는 선분 $\mathrm{P}' Q'$의 길이와 같다. 즉, $\displaystyle \overline{\mathrm{P}' Q'} = \frac{5}{4}$ 점 $` Q$에서 선분 $\mathrm{P} P'$, $\mathrm{R} R'$에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{H}$, $\mathrm{H}'$이라 하고 평면 $\alpha$와 $xy$평면이 이루는 각의 크기를 $\theta$라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{R} H'}$$\displaystyle = \overline{\mathrm{P} H}$$\displaystyle = \overline{\mathrm{Q} H} \mathrm{t} an \theta$$\displaystyle = \overline{\mathrm{Q}' P'} \mathrm{t} an \theta$$\displaystyle = \frac{5}{4} \tan \theta$ $\displaystyle \overline{\mathrm{Q} H'}$$\displaystyle = \overline{\mathrm{P}' R'} - \overline{\mathrm{P}' Q'}$$\displaystyle = 2 - \frac{5}{4}$$\displaystyle = \frac{3}{4}$ 삼각형 $\mathrm{R} R' O$와 삼각형 $\mathrm{R} H' Q$는 닮음이므로 $\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{R} R'}}{\overline{\mathrm{O} R'}}$$\displaystyle = \frac{\overline{\mathrm{R} H'}}{\overline{\mathrm{Q} H'}}$에서 $\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{R} R'}}{\overline{\mathrm{O} R'}} = 2$이고 $\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{R} H'}}{\overline{\mathrm{Q} H'}}$$\displaystyle = \frac{\frac{5}{4} \mathrm{t} an \theta}{\frac{3}{4}}$$\displaystyle = \frac{5 \tan \theta}{3}$이므로 $\displaystyle \tan \theta = \frac{6}{5}$ 평면 $\alpha$가 $z$축과 만나서 생기는 좌표가 $( 0 , 0 , k )$이므로 $\displaystyle \tan \theta = \frac{2 - k}{1}$$\displaystyle = \frac{6}{5}$ 따라서 $\displaystyle k = \frac{4}{5}$이므로 $50 k = 40$