기하공간도형과 공간좌표수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

원뿔 최단경로 벡터 자취

문제

밑면의 반지름의 길이가 1010, 모선의 길이가 3030이고 꼭지점이 O\mathrm{O}인 직원뿔이 있다. 밑면의 둘레 위의 한 점 A\mathrm{A}에서 출발하여 원뿔의 옆면을 한 바퀴 돌아 점 A\mathrm{A}로 되돌아오는 최단경로를 LL이라 하자.

LL 위를 움직이는 점 P\mathrm{P}에 대하여 점 B\mathrm{B}가 AB⃗=13AO⃗+23AP⃗\displaystyle \vec{\mathrm{AB}} = \frac{1}{3} \vec{\mathrm{AO}} + \frac{2}{3} \vec{\mathrm{AP}} 를 만족시킬 때, 점 B\mathrm{B}의 자취의 길이는? [4점] ①102\displaystyle 10 \sqrt{2}②103\displaystyle 10 \sqrt{3}③202\displaystyle 20 \sqrt{2}④203\displaystyle 20 \sqrt{3}⑤206\displaystyle 20 \sqrt{6}

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④

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해설

AB⃗=13AO⃗+23AP⃗=2AP⃗+AO⃗3\displaystyle \vec{\mathrm{AB}} = \frac{1}{3} \vec{\mathrm{AO}} + \frac{2}{3} \vec{\mathrm{AP}} = \frac{2 \vec{\mathrm{AP}} + \vec{\mathrm{AO}}}{3}이므로 B\mathrm{B}는 선분 OP\mathrm{OP}를 2:12 : 1로 내분하는 점이다. 원뿔의 전개도에서 LL은 선분 AA′\mathrm{AA}'이고 선분 OA\mathrm{OA}와 선분 OA′\mathrm{OA}'을 2:12 : 1로 내분하는 점을 각각 X\mathrm{X}, X′\mathrm{X}'이라 하면 점 B\mathrm{B}의 자취는 선분 XX′\mathrm{XX}'이다. 부채꼴의 중심각의 크기를 θ\theta라 하면 30×θ=2π×1030 \times \theta = 2 \pi \times 10에서 θ=2π3\displaystyle \theta = \frac{2 \pi}{3} 삼각형 OAA′\mathrm{OAA}'와 삼각형 OXX′\mathrm{OXX}'의 닮음비는 3:2 ∴ AA′‾=303\displaystyle \overline{\mathrm{AA}'} = 30 \sqrt{3} ∴ XX′‾=23AA′‾=203\displaystyle \overline{\mathrm{XX}'} = \frac{2}{3} \overline{\mathrm{AA}'} = 20 \sqrt{3}

태그

#벡터#전개도#닮음

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