기하공간도형과 공간좌표수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

원판 그림자 넓이

문제

서로 수직인 두 평면 α,β\alpha , \beta의 교선을 ll이라 하자. 반지름의 길이가 66인 원판이 두 평면 α,β\alpha , \beta와 각각 한 점에서 만나고 교선 ll에 평행하게 놓여 있다. 태양광선이 평면 α\alpha와 30∘30 ^\circ의 각을 이루면서 원판의 면에 수직으로 비출 때, 그림과 같이 평면 β\beta에 나타나는 원판의 그림자의 넓이를 SS라 하자. SS의 값을 a+b3π\displaystyle a + b \sqrt{3} \pi라 할 때, a+ba + b의 값을 구하시오. (단, a,ba , b는 자연수이고 원판의 두께는 무시한다.) [4점]

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해설

반지름의 길이가 66인 원판이 평면 α\alpha, β\beta와 맞닿는 점을 각각 A,BA , B라 하고, 두 점 A,BA , B에서 교선 ll에 내린 수선의 발을 OO라 하고, 점 OO에서 선분 ABAB에 내린 수선의 발을 HH라 하면 주어진 상황의 단면을 다음 그림과 같이 나타낼 수 있다. α\alpha β\beta 30∘30 ^\circ 60∘60 ^\circ 태양광선 30∘30 ^\circ

그림자가 SS부분에 해당되는 영역 S′S'은 원판에서 다음과 같다. 60∘60 ^\circ

S′=62π−S' = 6 ^{2} \pi -{(부채꼴PQCPQC의 넓이)-(삼각형 PQCPQC의 넓이)} =36π−(12⋅62⋅2π3−12⋅62⋅sin⁡2π3)\displaystyle = 36 \pi - ( \frac{1}{2} \cdot 6 ^{2} \cdot \frac{2 \pi}{3} - \frac{1}{2} \cdot 6 ^{2} \cdot \sin \frac{2 \pi}{3} ) =36π−(12π−93)\displaystyle = 36 \pi - ( 12 \pi - 9 \sqrt{3} ) =24π+93\displaystyle = 24 \pi + 9 \sqrt{3} 이 때, S=S′cos⁡30∘\displaystyle S = \frac{S'}{\cos 30 ^\circ}이므로 S=24π+9332\displaystyle S = \frac{24 \pi + 9 \sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=18+163π\displaystyle = 18 + 16 \sqrt{3} \pi ∴ a=18a = 18, b=16b = 16 ∴ a+b=34a + b = 34

태그

#정사영#그림자#넓이

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