공통수학2직선의 방정식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원점과 직선 거리 최대

문제

원점 O(0,0)\mathrm{O} ( 0 , 0 )에서 직선 (k+1)x+(k+2)y+3=0( k + 1 ) x + ( k + 2 ) y + 3 = 0 에 내린 수선의 길이가 최대일 때, 그 길이는? (단, kk는 상수) [4점] ①22②33③22\displaystyle 2 \sqrt{2}④23\displaystyle 2 \sqrt{3}⑤32\displaystyle 3 \sqrt{2}

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⑤

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해설

[출제의도] 점과 직선사이의 거리를 구할 수 있다. 원점과 직선 사이의 거리를 dd라 하면 d=∣3∣(k+1)2+(k+2)2\displaystyle \begin{aligned} d = & \frac{| 3 |}{\sqrt{( k + 1 ) ^{2} + ( k + 2 ) ^{2}}} \end{aligned}=32k2+6k+5\displaystyle \begin{aligned} = & \frac{3}{\sqrt{2 k ^{2} + 6 k + 5}} \end{aligned}≤312=32\displaystyle \begin{aligned} \leq & \frac{3}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = 3 \sqrt{2} \end{aligned} (∵2k2+6k+5=2(k+32)2+12≥12)\displaystyle ( \because \sqrt{2 k ^{2} + 6 k + 5} = \sqrt{2 ( k + \frac{3}{2} ) ^{2} + \frac{1}{2}} \geq \sqrt{\frac{1}{2}} )

태그

#점과 직선 사이의 거리#최대

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