원점을 지나는 직선과 로그곡선

[출제의도] 로그함수를 활용하여 문제 해결하기

$y = \log _{3} \left( 5 x - 3 \right)$

두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{A}'$, $\mathrm{B}'$이라 하자. 삼각형 $\mathrm{AOA}'$과 삼각형 $\mathrm{BOB}'$은 닮음이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{OA'}} : {\overline{OB'}} = {\overline{AA'}} : {\overline{BB'}} = 1 : 2$ 점 $\mathrm{A}$의 좌표를 $\left( a , \log _{3} \left( 5 a - 3 \right) \right)$이라 하면 점 $\mathrm{B}$의 좌표는 $\left( 2 a , \log _{3} \left( 10 a - 3 \right) \right)$ $2 \log _{3} \left( 5 a - 3 \right) = \log _{3} \left( 10 a - 3 \right)$ $25 a ^{2} - 30 a + 9 = 10 a - 3$ $25 a ^{2} - 40 a + 12 = \left( 5 a - 2 \right) \left( 5 a - 6 \right) = 0$이므로 $\displaystyle a = \frac{2}{5}$ 또는 $\displaystyle a = \frac{6}{5}$ $\displaystyle a > \frac{3}{5}$이므로 $\displaystyle a = \frac{6}{5}$ 점 $\mathrm{A}$의 좌표는 $\displaystyle \mathrm{\left( \frac{6}{5} , 1 \right)}$ 직선 $\mathrm{AB}$의 기울기는 직선 $\mathrm{OA}$의 기울기와 같다. 직선 $\mathrm{OA}$의 기울기 $\displaystyle \frac{q}{p} = \frac{1 - 0}{\frac{6}{5} - 0} = \frac{5}{6}$ 따라서 $p + q = 11$