미적분Ⅱ도함수의 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

원점에서 그은 두 접선

문제

원점에서 곡선 yy=e∣x∣= e ^{\left| x \right|}에 그은 두 접선이 이루는 예각의 크기를 θ\theta라 할 때, tan⁡θ\tan \theta의 값은? [3점] ①ee2+1\displaystyle \frac{e}{e ^{2} + 1}②ee2−1\displaystyle \frac{e}{e ^{2} - 1}③2ee2+1\displaystyle \frac{2 e}{e ^{2} + 1}④2ee2−1\displaystyle \frac{2 e}{e ^{2} - 1}⑤11

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④

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해설

[출제의도] 두 접선이 이루는 예가의 크기 θ\theta에 대하여 tan⁡θ\tan \theta의 값을 구할 수 있는가? 곡선 y=e∣x∣y = e ^{|x|}는 yy축에 대하여 대칭이다. x≥0x \geq 0일 때 y=exy = e ^{x}이고 접점을 (t,et)\left( t , e ^{t} \right)이라 하면 y′=exy' = e ^{x}이므로 접선의 방정식은 y−et=et(x−t)y - e ^{t} = e ^{t} ( x - t ) 이 접선이 원점을 지나므로 −et=et(−t),- e ^{t} = e ^{t} ( - t ) , t=1t = 1 따라서 접선의 기울기는 ee이고 이 접선과 yy축에 대하여 대칭인 접선의 기울기는 −e- e이다. tan⁡θ\tan \theta=−e−e1+(−e)×e\displaystyle = \frac{- e - e}{1 + ( - e ) \times e}=−2e1−e2\displaystyle = \frac{- 2 e}{1 - e ^{2}}=2ee2−1\displaystyle = \frac{2 e}{e ^{2} - 1}

태그

#접선의 방정식#지수함수#탄젠트 덧셈정리

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