원점 지나는 직선 조건

$f' \left( x \right) = \left\{ - ax ^{2} + \left( 2 a - b \right) x + b \right\} e ^{- x}$ $f'' \left( x \right) = \left\{ ax ^{2} - \left( 4 a - b \right) x + 2 a - 2 b \right\} e ^{- x}$ 점 $\left( 0 , 0 \right)$에서 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프에 그은 접선 중 기울기가 $f' \left( 0 \right)$이 아닌 접선이 존재할 때 그 접선을 $l$이라 하자. 접선 $l$의 접점을 $\left( k , f \left( k \right) \right)$라 하면 $k \ne 0$이다. $\displaystyle \frac{f \left( k \right)}{k} = f' \left( k \right)$ $\left( ak + b \right) e ^{- k} = \left( - ak ^{2} + \left( 2 a - b \right) k + b \right) e ^{- k}$ $\displaystyle k = - \frac{b}{a} + 1$이고, $f' \left( k \right) = ae ^{- k}$, $f'' \left( k \right) = - ake ^{- k}$ $\displaystyle \frac{b}{a} < 0$일 때, 직선 $l$과 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프의 개형은 다음과 같고 $f' \left( t \right) > f' \left( k \right)$인 $t$가 존재하면 방정식 $f \left( x \right) = f' \left( t \right) \times x$의 실근은 $\mathrm{0}$뿐이다.

$f'' \left( 0 \right) = 2 a - 2 b$에서 $f'' \left( 0 \right) \times f'' \left( k \right) < 0$이므로 $0 < \alpha < k$이고 $f'' \left( \alpha \right) = 0$인 $\alpha$가 존재하고, $\alpha < t < k$인 임의의 $t$에 대하여 $f'' \left( t \right) < 0$이다. 이때, $\alpha < t _{1} < k$, $\alpha < t _{2} < k$인 두 실수 $t _{1}$, $t _{2} \left( t _{1} < t _{2} \right)$가 존재하고 $f' \left( t _{1} \right) > f' \left( k \right)$, $f' \left( t _{2} \right) > f' \left( k \right)$이다. $t$가 $t _{1}$ 또는 $t _{2}$일 때, $\left\{ x \left| \right. f \left( x \right) = f' \left( t \right) \times x \right\} = \left\{ 0 \right\}$이므로 조건 (가)를 만족시키지 못한다. $\displaystyle \frac{b}{a} \geq 0$, $\displaystyle \frac{b}{a} \ne 1$일 때, 직선 $l$과 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프의 개형은 다음과 같고 $f' \left( t \right) > f' \left( k \right)$인 $t$가 존재하면 방정식 $f \left( x \right) = f' \left( t \right) \times x$의 실근은 $\mathrm{0}$뿐이다.

$f'' \left( 0 \right) \times f'' \left( k \right) < 0$이므로 $\displaystyle \frac{b}{a} < 0$일 때와 마찬가지로 조건 (가)를 만족시키지 못한다. $\displaystyle \frac{b}{a} = 1$일 때, 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프 위의 점 $\left( 0 , 0 \right)$에서의 접선을 $l'$이라 하면 직선 $l'$과 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

$t = 0$일 때, 방정식 $f \left( x \right) = f' \left( t \right) \times x$에서 $a = b$이므로 $a \left( x ^{2} + x \right) e ^{- x} = f' \left( 0 \right) x$ $f' \left( 0 \right) = a$이므로 $ax \left( x + 1 \right) e ^{- x} = ax$ $ax \left\{ \left( x + 1 \right) e ^{- x} - 1 \right\} = 0$ $x = 0$ 또는 $\left( x + 1 \right) e ^{- x} - 1 = 0$이므로 방정식 $f \left( x \right) = f' \left( t \right) \times x$의 실근은 $\mathrm{0}$뿐이다. $f'' \left( 0 \right) = 0$이고 $\mathrm{0}$이 아닌 모든 실수 $t$에 대하여 $f' \left( t \right) < f' \left( 0 \right)$이다. 따라서 $\mathrm{0}$이 아닌 모든 실수 $t$에 대하여 $\left\{ x \left| \right. f \left( x \right) = f' \left( t \right) \times x \right\} \ne \left\{ 0 \right\}$이므로 조건 (가)를 만족시킨다. 조건 (나)에서 $f \left( 2 \right) = \left( 4 a + 2 b \right) e ^{- 2} = 2 e ^{- 2}$ $2 a + b = 1$이다. $a = b$이므로 $\displaystyle a = b = \frac{1}{3}$ 따라서 $\displaystyle 60 \times \left( a + b \right) = 60 \times \frac{2}{3} = 40$