미적분Ⅱ도함수의 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

원점 지나는 접선

문제

곡선 y=3ex−1y = 3 e ^{x-1} 위의 점 A\mathrm{A}에서의 접선이 원점 O\mathrm{O}를 지날 때, 선분 OA\mathrm{OA}의 길이는? [3점] ①6\displaystyle \sqrt{6}②7\displaystyle \sqrt{7}③22\displaystyle 2 \sqrt{2}④33⑤10\displaystyle \sqrt{10}

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⑤

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해설

[출제의도] 접선의 방정식을 구할 수 있는가? 곡선 y=3ex−1y = 3 e ^{x - 1} 위의 점 A\mathrm{A}의 좌표를 (a,3ea−1)\left( a , 3 e ^{a - 1} \right)으로 놓으면 y′=3ex−1y' = 3 e ^{x - 1}이므로 접선의 기울기는 3ea−13 e ^{a - 1}이다. 그러므로 접선의 방정식은 y=3ea−1(x−a)+3ea−1y = 3 e ^{a - 1} \left( x - a \right) + 3 e ^{a - 1} 이 접선이 원점 O(0,0){\mathrm{O}} \left( 0 , 0 \right)을 지나므로 0=3ea−1(−a)+3a−10 = 3 e ^{a - 1} \left( - a \right) + 3 ^{a - 1} ∴a=1\therefore a = 1 따라서 A(1,3){\mathrm{A}} \left( 1 , 3 \right)이므로 OA‾=12+32=10\displaystyle {\overline{\mathrm{OA}}} = \sqrt{1 ^{2} + 3 ^{2}} = \sqrt{10}

태그

#접선의 방정식#지수함수

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