원점 거리의 최댓값

[출제의도] 원의 성질을 활용하여 문제해결하기 두 점 $\mathrm{A} \left( 5 , 12 \right)$, $\mathrm{B} \left( \mathit{a} , b \right)$에 대하여 선분 $\mathrm{AB}$의 길이가 $3$이므로 $\displaystyle \sqrt{( a - 5 ) ^{2} + ( b - 12 ) ^{2}} = 3$ $\left( a - 5 \right) ^{2} + \left( b - 12 \right) ^{2} = 9$

$\left( x - 5 \right) ^{2} + \left( y - 12 \right) ^{2} = 9$ $\mathrm{B}'$

점 $\mathrm{B}$는 원 $\left( x - 5 \right) ^{2} + \left( y - 12 \right) ^{2} = 9$ 위의 점이다. 원점 $\mathrm{O}$에 대하여 $a ^{2} + b ^{2}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{OB}}} ^{2}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{OB}}$의 길이가 최대일 때 $a ^{2} + b ^{2}$이 최댓값을 갖는다. 직선 $\mathrm{OA}$가 원과 만나는 두 점 중 원점에서 더 멀리 있는 점을 $\mathrm{B}'$라 하면 선분 $\mathrm{OB}$의 길이의 최댓값은 선분 $\mathrm{OB}'$의 길이와 같다. $\displaystyle {\overline{\mathrm{OB}'}}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{OA}}} + {\overline{\mathrm{AB}'}}$$\displaystyle = \sqrt{5 ^{2} + 12 ^{2}} + 3$$\displaystyle = \sqrt{169} + 3$$= 13 + 3$$= 16$ 선분 $\mathrm{OB}$의 길이의 최댓값은 $16$ 따라서 $a ^{2} + b ^{2}$의 최댓값은 $16 ^{2} = 256$