원점 대칭이동한 원과 접선의 조건

$x ^{2} + y ^{2} - 2 x + 4 y + 1 = 0$에서 $( x - 1 ) ^{2} + ( y + 2 ) ^{2} = 4$이므로 이 원의 중심은 $( 1 , - 2 )$, 반지름의 길이는 $2$이다. 원점에 대하여 대칭이동하면 중심은 $( - 1 , 2 )$로 옮겨지고 반지름의 길이는 그대로 $2$이다. 이 원이 직선 $3 x - 4 y + k = 0$에 접하므로 중심과 직선 사이의 거리가 반지름의 길이와 같다. $\displaystyle \frac{| 3 \times ( - 1 ) - 4 \times 2 + k |}{\sqrt{3 ^{2} + ( - 4 ) ^{2}}} = 2$에서 $| k - 11 | = 10$ $k - 11 = 10$ 또는 $k - 11 = - 10$이므로 $k = 21$ 또는 $k = 1$ 따라서 모든 $k$의 값의 곱은 $21 \times 1 = 21$이므로 답은 ④이다.